Aggunto a onde la trattazione dell'oscillatore smorzato, aggiunto alla libreria base simboli matematici
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@@ -293,4 +293,259 @@ Anche in questo caso si nota come $E_m$ è una costante.
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Un altra osservazione molto interessante giunge dallo studio di $x$ e $\dert{x}$ in quanto queste 2 funzioni sono sfasate di $\frac \pi 2$, si dice che sono in quadratura di fase.
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\section{Oscillatore armonico smorzato}
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Per ora il sistema che abbiamo osservato non disperde energia, questo è fisicamente impossibile in quanto è un moto perpetuo.
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Vogliamo quindi un equazione del moto che ci permetta di osservare una perdita di energia.
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Introduciamo quindi una nuova forza: l'attrito viscoso.
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\begin{defJ}{Attrito viscoso}{def:avis}
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\[
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\vec F = - m 2 \gamma \dert{\vec x}
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\]
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Il 2 servirà a semplificare la trattazione, non è strettamente necessario.
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\end{defJ}
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Otteniamo quindi una nuova equazione del moto.
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\begin{align*}
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m \dertt{x} = - 2 \gamma m \dert{x} - \alpha x\\
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\dertt{x} + 2 \gamma \dert{x} + \frac \alpha m x = 0\\
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\dertt{x} + 2 \gamma \dert{x} + \omega_p^2 x = 0
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\end{align*}
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Questa è un equazione differenziale ordinaria di secondo grado.
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Per questa equazione è però necessario applicare un metodo più sistematico e meno intuitivo, ma già sappiamo che basterà una combinazione lineare di 2 soluzioni specifiche.
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\begin{dimJ}{Soluzione dell'oscillatore armonico smorzato}{dim:oas}
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Cerchiamo le soluzioni della forma:
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\[
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x(t) = e^{\lambda t}, \lambda \in \mathbb{C}
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\]
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Le derivate sono quindi:
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\begin{align*}
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\dert{x} = \lambda e^{\lambda t}\\
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\dertt{x} = \lambda^2 e^{\lambda t}
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\end{align*}
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Sostituendo nell'equazione differenziale posso direttammente raccogliere $e^{\lambda t}$.
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\[
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e^{\lambda t} [ \lambda^2 + 2 \gamma \lambda + \omega_p^2] = 0
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\]
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Poichè noi vogliamo fare in modo che questa equazione risulti 0 sappiamo che:
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\begin{align*}
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\lambda^2 + 2 \gamma \lambda + \omega_p^2=0\\
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\lambda_{1,2} = - \gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_p^2}\\
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x_1 = e^{\lambda_1 t}\\
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x_2 = e^{\lambda_2 t}
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\end{align*}
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Sappiamo già che la soluzione generale si avrà facendo una combinazione lineare:
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\[
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x(t) = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t}
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\]
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Valutiamo il segno di $\lambda_{1,2}$, separando i vari casi e tenendo a mente che questi esponenziali non posso esplodere a $\infty$ perché questo implicherebbe una generazione di energia dal nulla.
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\end{dimJ}
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\begin{dimJ}{Oscillatore armonico smorzato: SOVRASMORZATO}{dim:SOVRASMORZATO}
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\[
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\Delta > 0 \imp \gamma^2 > \omega_p^2
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\]
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Osserviamo cosa succede agli esponenziali.
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\begin{align*}
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\lambda_2 = - \gamma - \sqrt \Delta \imp \lambda_2 < 0\\
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\lambda_1 = - \gamma + \sqrt \Delta \imp - \gamma + \sqrt{\gamma^2 - \omega_p^2} < 0 \imp \lambda_1 < 0
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\end{align*}
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Abbiamo quindi una combinazione lineare valida:
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\[
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x(t) = C_1 e^{-\abs{\lambda_1} t} + C_2 e^{-\abs{\lambda_2} t}
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\]
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Scritta in questo modo si nota perfettamente che sono 2 esponenziali che tenendo a 0 senza aver compiuto un oscillazione vera e propria.
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Questo sistema si chiama: SOVRASMORZATO.
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\end{dimJ}
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\begin{dimJ}{Oscillatore armonico smorzato: SMORZAMENTO CRITICO}{dim:SMORZAMENTOCRITICO}
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Passiamo alla seconda possibilità:
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\[
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\Delta = 0
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\]
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Questo ci crea non pochi problemi perché ora abbiamo una sola equazione e non 2 soluzioni particolari.
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\[
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\lambda = - \gamma \imp x_1(t) = e^{-\gamma t}
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\]
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Per trovare una nuova soluzione possiamo aggiungere un polinomio a questa soluzione.
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Così facendo otteniamo:
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\[
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x_2(t) = t e^{-\gamma t}
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\]
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La nostra combinazione lineare è quindi:
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\[
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x(t) = e^{-\gamma t} \8 C_1 + C_2 t \9
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\]
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Questo sistema viene chiamato SMORZAMENTO CRITICO. Questo è quello che si vuole ottenere in sistemi meccanici reali come i pistoni di una macchina.
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\end{dimJ}
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\begin{dimJ}{Oscillatore armonico smorzato: SOTTOSMORZATO}{dim:SOTTOSMORZATO}
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Ora abbiamo l'ultimo caso:
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\[
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\Delta < 0
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\]
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Come sappiamo le soluzioni sono complesse coniugate:
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\begin{align*}
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\lambda_{1,2} = -\gamma \pm i \sqrt{\omega_p^2 - \gamma^2}\\
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x_1(t) = e^{-\gamma t} * e^{i \omega t}\\
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x_2(t) = e^{-\gamma t} * e^{- i \omega t}
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\end{align*}
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In queste formulazioni compare:
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\begin{defJ}{Omega}{def:omega}
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\[
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\omega = \sqrt{\omega_p^2 - \gamma^2}
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\]
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\end{defJ}
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Noi sappiamo dalle formule di Eulero:
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\[
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e^{\pm \omega t} = \cos \omega t \pm i \sin \omega t
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\]
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Di conseguenza:
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\begin{align*}
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x_1(t) = e^{-\gamma t} \cos \omega t + i e^{-\gamma t} \sin \omega t\\
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x_2(t) = e^{-\gamma t} \cos \omega t - i e^{-\gamma t} \sin \omega t
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\end{align*}
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Ci accorgiamo che queste 2 soluzioni indipendenti sono comunque una combinazione lineare di soluzioni più semplici da scrivere, per non dover portare in giro tutta quella roba riscriviamo:
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\begin{align*}
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\hat x_1 (t) = e^{-\gamma t} \cos \omega t \\
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\hat x_2 (t) = e^{-\gamma t} \sin \omega t
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\end{align*}
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La soluzione totale è quindi:
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\[
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x(t) = e^{-\gamma t} [C_1 \cos \omega t + C_2 \sin \omega t]
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\]
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Come prima è possibile riscrivere questa soluzione come:
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\[
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x(t) = A e^{- \gamma t} \cos (\omega t + \varphi)
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\]
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In questo caso l'oscillatore è detto SOTTOSMORZATO o DEBOLMENTE SMORZATO
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\end{dimJ}
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\begin{dimJ}{Trasformazione dell'equazione}{dim:trasformazioneInc}
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Partiamo dall'espressione
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\[
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x(t)= e^{-\gamma t}\,[C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t)].
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\]
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Vogliamo riscriverla nella forma
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\[
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x(t)= A e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\varphi).
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\]
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Utilizziamo l'identità trigonometrica
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\[
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\cos(\omega t+\varphi)=\cos\varphi\,\cos(\omega t)-\sin\varphi\,\sin(\omega t).
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\]
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Pertanto
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\[
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A\cos(\omega t+\varphi) = A\cos\varphi\,\cos(\omega t) - A\sin\varphi\,\sin(\omega t).
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\]
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Confrontando con l'espressione iniziale otteniamo il sistema:
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\[
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\begin{cases}
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C_1 = A\cos\varphi,\\[4pt]
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C_2 = -A\sin\varphi.
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\end{cases}
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\]
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Elevando al quadrato e sommando:
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\[
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C_1^2 + C_2^2 = A^2(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi) = A^2,
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\]
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da cui
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\[
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A = \sqrt{C_1^2 + C_2^2}.
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\]
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Per la fase:
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\[
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\tan\varphi = -\frac{C_2}{C_1}.
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\]
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Quindi la soluzione può essere riscritta come
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\[
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x(t) = A e^{-\gamma t} \cos(\omega t + \varphi),
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\]
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dove
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\[
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A = \sqrt{C_1^2 + C_2^2}, \qquad \varphi = \arctan\!\left(-\frac{C_2}{C_1}\right).
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\]
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\end{dimJ}
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\subsection{Condizioni iniziali}
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Come fatto per l'oscillatore armonico semplice vogliamo trovare un legame tra le condizioni iniziali e i paramentri dell'equazione.
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\[
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x(t) = A e^{-\gamma t} \cos (\omega t + \varphi)
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\]
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Come prima valutiamo sia la posizione che la velocità in 0.
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\begin{align*}
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align* x(0) = A \cos \varphi\\
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\dert{x} = - \gamma A e^{-\gamma t} \cos (\omega t + \varphi) - \omega A e^{-\gamma t} \sin (\omega t + \varphi)\\
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\dert{x} (0) = - \gamma A \cos \varphi + - \omega A \sin \varphi
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\end{align*}
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Si nota subito che questa non è una soluzione lineare, ma possiamo fare alcune semplificazioni del nostro sistema:
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\[
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\begin{cases}
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x(0) = A \cos \varphi\\
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v(0) = - \gamma x(0) - \omega A \sin \varphi
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\end{cases}
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\]
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\[
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\begin{cases}
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x(0) = A \cos \varphi\\
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- v(0) - \gamma x(0) = \omega A \sin \varphi
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\end{cases}
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\]
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\[
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\begin{cases}
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x^2(0) = A^2 \cos^2 \varphi\\
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\8 \frac{v(0) + \gamma x(0)}{\omega} \9^2 = A^2 \sin^2 \varphi
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\end{cases}
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\]
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Ora sommandole otteniamo:
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\[
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A^2 = x^2(0) + \8 \frac{v(0) + \gamma x(0)}{\omega} \9^2
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\]
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Mentre il rapporto fatto prima di quadrarle ci restituisce:
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\[
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\tan \varphi = - \frac{v(0) + \gamma x(0)}{\omega} * \frac{1}{x(0)}
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\]
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\end{document}
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