Aggiunto a onde la sezione energetica, aggiunte alla lib le derivate con x e x^2

jacbr.sty

@@ -116,6 +116,8 @@
 %derivata
 \newcommand{\dert}[1]{\frac{d #1}{dt}}
 \newcommand{\dertt}[1]{\frac{d^2 #1}{dt^2}}
+\newcommand{\derx}[1]{\frac{d #1}{dx}}
+\newcommand{\derxx}[1]{\frac{d^2 #1}{dx^2}}
 \newcommand{\der}[2]{\frac{d #1}{d #2}}
 %per le parentesi
 \newcommand{\8}{\left(}

onde/onde.tex

@@ -199,4 +199,98 @@ Esiste anche un'altra grandezza ricavata da $\omega_p$, che è strettamente lega
 	\end{align*}
 \end{defJ}
 
+
+\section{Energia}
+Facciamo lo studio dell'energia di un oscillatore armonico.
+Per condizioni di stabilità sappiamo che il potenziale $U$ ha delle caratteristiche ben precise chiare in un espansione di Taylor-McLawrin:
+
+\begin{align*}
+	U(x) &= U(0) + \der{U(0)}{x} x + \frac 1 2 \der{U(0)}{x^2} x^2 + \dots\\
+	U(0) &= const.\\
+	\der{U(0)}{x} &= 0\\
+	\der{U(0)}{x^2} &> 0
+\end{align*}
+
+Ciò è intuitivo se pensiamo che per avere un oscillatore bisogna essere in una buca di potenziale.
+Matematicamente significa che sono in un minimo e che la funzione lì ha concavità verso l'alto.
+Il valore del potenziale in se è arbitrario in quanto io posso settare lo 0 ovunque voglia.
+
+Cerchiamo ora di capirci qualcosa in più.
+\[
+	F = - \derx{U}
+\]
+
+Il potenziale nella nostra molla sappiamo essere:
+
+\[
+	U(x) = \frac 1 2 K x^2
+\]
+
+Ne consegue che la forza sia:
+
+\[
+	F = - \frac 1 2 2 K x = - K x
+\]
+
+Studiamo l'energia meccanica totale e chiamiamo il paramentro $\alpha$ per parlare di un caso generale dove la forza abbia la stessa forma:
+
+\begin{align*}
+	E_m = K + U\\
+	K = \frac 1 2 m \dert{x}\\
+	U = \frac 1 2 \alpha x^2
+\end{align*}
+
+Cosa capiamo dall'equazione del moto?
+
+\begin{align*}
+	\dertt{x} + \omega_p^2 x = 0\\
+	\omega_p = \sqrt{\frac \alpha m}\\
+\end{align*}
+Riportiamo l'equazione del moto distribuendo la massa
+\begin{align*}
+	m \dertt{x} + \alpha x = 0 \\
+\end{align*}
+
+Noi sappiamo, dall'analisi dimensionale qualcosa di molto interessante.
+\begin{align*}
+	[F*x] = \si{\newton\meter} = \si{\joule}\\
+	[F*\dert{x}] = \si{\newton\meter\per\second} = \si{\watt}
+\end{align*}
+
+Moltiplichiamo l'equazione del moto per $\dert{x}$.
+\[
+	m \dertt{x} \dert{x} + \alpha x \dert{x} = 0
+\]
+
+Questo tipo di equazione lo troviamo quando deriviamo un quadrato, infatti:
+\[
+	\dert{f^2(t)} = 2 f(t) * \dert{f(t)}\\
+\]
+
+Sostituendo questo risultato dentro l'equazione del moto abbiamo:
+\begin{align*}
+	m \frac 1 2 \frac{d}{dt} \8 \dert{x} \9^2 + \alpha \frac 1 2 \dert{x^2} = 0\\
+	\frac{d}{dt} \8 \frac 1 2 m \8\dert{x}\9^2 + \frac 1 2 \alpha x^2 \9 = 0 \\
+	\imp \frac 1 2 m \8 \dert{x} \9^2 + \frac 1 2 \alpha x^2 = const. \\
+	K + U = const.
+\end{align*}
+
+Abbiamo ritrovato dall'equazione del moto la conservazione dell'energia meccanica.
+Possiamo quindi provare a vedere cosa risulta inserendo la soluzione dell'equazione.
+
+\begin{align*}
+	x(t) = A \cos(\omega_p t + \varphi)\\
+	\dert{x} = - A \omega_p \sin(\omega_p t + \varphi)\\
+	\text{Sostituendo}\\
+	E_m = \frac m 2 A^2 \omega_p^2 \sin^2(\omega_p t + \varphi) + \frac \alpha 2 A^2 \cos^2(\omega_p t + \varphi)\\
+	\text{Ricordando } \omega_p = \sqrt{\frac \alpha m}\\
+	E_m = \frac \alpha 2 A^2 \8 \sin^2(\omega_p t + \varphi) + \cos^2(\omega_p t + \varphi) \9\\
+	E_m = \frac \alpha 2 A^2
+\end{align*}
+
+Anche in questo caso si nota come $E_m$ è una costante.
+
+Un altra osservazione molto interessante giunge dallo studio di $x$ e $\dert{x}$ in quanto queste 2 funzioni sono sfasate di $\frac \pi 2$, si dice che sono in quadratura di fase.
+
+
 \end{document}