diff --git a/jacbr.sty b/jacbr.sty index e74ce9e..fd571e6 100644 --- a/jacbr.sty +++ b/jacbr.sty @@ -9,6 +9,7 @@ \usepackage[a4paper,margin=2cm,nohead,foot=0.5cm]{geometry} \usepackage{xcolor} \usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{caption} diff --git a/onde/onde.pdf b/onde/onde.pdf index dfa646b..f30c898 100644 Binary files a/onde/onde.pdf and b/onde/onde.pdf differ diff --git a/onde/onde.tex b/onde/onde.tex index b6d8e50..0c555e2 100644 --- a/onde/onde.tex +++ b/onde/onde.tex @@ -293,4 +293,259 @@ Anche in questo caso si nota come $E_m$ è una costante. Un altra osservazione molto interessante giunge dallo studio di $x$ e $\dert{x}$ in quanto queste 2 funzioni sono sfasate di $\frac \pi 2$, si dice che sono in quadratura di fase. + + +\section{Oscillatore armonico smorzato} +Per ora il sistema che abbiamo osservato non disperde energia, questo è fisicamente impossibile in quanto è un moto perpetuo. +Vogliamo quindi un equazione del moto che ci permetta di osservare una perdita di energia. +Introduciamo quindi una nuova forza: l'attrito viscoso. + +\begin{defJ}{Attrito viscoso}{def:avis} + \[ + \vec F = - m 2 \gamma \dert{\vec x} + \] + Il 2 servirà a semplificare la trattazione, non è strettamente necessario. +\end{defJ} + +Otteniamo quindi una nuova equazione del moto. + +\begin{align*} + m \dertt{x} = - 2 \gamma m \dert{x} - \alpha x\\ + \dertt{x} + 2 \gamma \dert{x} + \frac \alpha m x = 0\\ + \dertt{x} + 2 \gamma \dert{x} + \omega_p^2 x = 0 +\end{align*} + +Questa è un equazione differenziale ordinaria di secondo grado. +Per questa equazione è però necessario applicare un metodo più sistematico e meno intuitivo, ma già sappiamo che basterà una combinazione lineare di 2 soluzioni specifiche. + +\begin{dimJ}{Soluzione dell'oscillatore armonico smorzato}{dim:oas} + Cerchiamo le soluzioni della forma: + \[ + x(t) = e^{\lambda t}, \lambda \in \mathbb{C} + \] + Le derivate sono quindi: + \begin{align*} + \dert{x} = \lambda e^{\lambda t}\\ + \dertt{x} = \lambda^2 e^{\lambda t} + \end{align*} + Sostituendo nell'equazione differenziale posso direttammente raccogliere $e^{\lambda t}$. + \[ + e^{\lambda t} [ \lambda^2 + 2 \gamma \lambda + \omega_p^2] = 0 + \] + Poichè noi vogliamo fare in modo che questa equazione risulti 0 sappiamo che: + \begin{align*} + \lambda^2 + 2 \gamma \lambda + \omega_p^2=0\\ + \lambda_{1,2} = - \gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_p^2}\\ + x_1 = e^{\lambda_1 t}\\ + x_2 = e^{\lambda_2 t} + \end{align*} + Sappiamo già che la soluzione generale si avrà facendo una combinazione lineare: + \[ + x(t) = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t} + \] + + Valutiamo il segno di $\lambda_{1,2}$, separando i vari casi e tenendo a mente che questi esponenziali non posso esplodere a $\infty$ perché questo implicherebbe una generazione di energia dal nulla. + +\end{dimJ} + +\begin{dimJ}{Oscillatore armonico smorzato: SOVRASMORZATO}{dim:SOVRASMORZATO} + \[ + \Delta > 0 \imp \gamma^2 > \omega_p^2 + \] + + Osserviamo cosa succede agli esponenziali. + \begin{align*} + \lambda_2 = - \gamma - \sqrt \Delta \imp \lambda_2 < 0\\ + \lambda_1 = - \gamma + \sqrt \Delta \imp - \gamma + \sqrt{\gamma^2 - \omega_p^2} < 0 \imp \lambda_1 < 0 + \end{align*} + + Abbiamo quindi una combinazione lineare valida: + \[ + x(t) = C_1 e^{-\abs{\lambda_1} t} + C_2 e^{-\abs{\lambda_2} t} + \] + + Scritta in questo modo si nota perfettamente che sono 2 esponenziali che tenendo a 0 senza aver compiuto un oscillazione vera e propria. + Questo sistema si chiama: SOVRASMORZATO. +\end{dimJ} + +\begin{dimJ}{Oscillatore armonico smorzato: SMORZAMENTO CRITICO}{dim:SMORZAMENTOCRITICO} + Passiamo alla seconda possibilità: + \[ + \Delta = 0 + \] + + Questo ci crea non pochi problemi perché ora abbiamo una sola equazione e non 2 soluzioni particolari. + \[ + \lambda = - \gamma \imp x_1(t) = e^{-\gamma t} + \] + + Per trovare una nuova soluzione possiamo aggiungere un polinomio a questa soluzione. + Così facendo otteniamo: + \[ + x_2(t) = t e^{-\gamma t} + \] + + La nostra combinazione lineare è quindi: + \[ + x(t) = e^{-\gamma t} \8 C_1 + C_2 t \9 + \] + + Questo sistema viene chiamato SMORZAMENTO CRITICO. Questo è quello che si vuole ottenere in sistemi meccanici reali come i pistoni di una macchina. +\end{dimJ} + +\begin{dimJ}{Oscillatore armonico smorzato: SOTTOSMORZATO}{dim:SOTTOSMORZATO} + Ora abbiamo l'ultimo caso: + \[ + \Delta < 0 + \] + + Come sappiamo le soluzioni sono complesse coniugate: + \begin{align*} + \lambda_{1,2} = -\gamma \pm i \sqrt{\omega_p^2 - \gamma^2}\\ + x_1(t) = e^{-\gamma t} * e^{i \omega t}\\ + x_2(t) = e^{-\gamma t} * e^{- i \omega t} + \end{align*} + + In queste formulazioni compare: + \begin{defJ}{Omega}{def:omega} + \[ + \omega = \sqrt{\omega_p^2 - \gamma^2} + \] + \end{defJ} + + Noi sappiamo dalle formule di Eulero: + \[ + e^{\pm \omega t} = \cos \omega t \pm i \sin \omega t + \] + + Di conseguenza: + \begin{align*} + x_1(t) = e^{-\gamma t} \cos \omega t + i e^{-\gamma t} \sin \omega t\\ + x_2(t) = e^{-\gamma t} \cos \omega t - i e^{-\gamma t} \sin \omega t + \end{align*} + + Ci accorgiamo che queste 2 soluzioni indipendenti sono comunque una combinazione lineare di soluzioni più semplici da scrivere, per non dover portare in giro tutta quella roba riscriviamo: + \begin{align*} + \hat x_1 (t) = e^{-\gamma t} \cos \omega t \\ + \hat x_2 (t) = e^{-\gamma t} \sin \omega t + \end{align*} + + La soluzione totale è quindi: + \[ + x(t) = e^{-\gamma t} [C_1 \cos \omega t + C_2 \sin \omega t] + \] + + Come prima è possibile riscrivere questa soluzione come: + \[ + x(t) = A e^{- \gamma t} \cos (\omega t + \varphi) + \] + + In questo caso l'oscillatore è detto SOTTOSMORZATO o DEBOLMENTE SMORZATO +\end{dimJ} + +\begin{dimJ}{Trasformazione dell'equazione}{dim:trasformazioneInc} + Partiamo dall'espressione + \[ + x(t)= e^{-\gamma t}\,[C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t)]. + \] + + Vogliamo riscriverla nella forma + \[ + x(t)= A e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\varphi). + \] + + Utilizziamo l'identità trigonometrica + \[ + \cos(\omega t+\varphi)=\cos\varphi\,\cos(\omega t)-\sin\varphi\,\sin(\omega t). + \] + + Pertanto + \[ + A\cos(\omega t+\varphi) = A\cos\varphi\,\cos(\omega t) - A\sin\varphi\,\sin(\omega t). + \] + + Confrontando con l'espressione iniziale otteniamo il sistema: + \[ + \begin{cases} + C_1 = A\cos\varphi,\\[4pt] + C_2 = -A\sin\varphi. + \end{cases} + \] + + Elevando al quadrato e sommando: + \[ + C_1^2 + C_2^2 = A^2(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi) = A^2, + \] + da cui + \[ + A = \sqrt{C_1^2 + C_2^2}. + \] + + Per la fase: + \[ + \tan\varphi = -\frac{C_2}{C_1}. + \] + + Quindi la soluzione può essere riscritta come + \[ + x(t) = A e^{-\gamma t} \cos(\omega t + \varphi), + \] + dove + \[ + A = \sqrt{C_1^2 + C_2^2}, \qquad \varphi = \arctan\!\left(-\frac{C_2}{C_1}\right). + \] + +\end{dimJ} + + + +\subsection{Condizioni iniziali} +Come fatto per l'oscillatore armonico semplice vogliamo trovare un legame tra le condizioni iniziali e i paramentri dell'equazione. +\[ + x(t) = A e^{-\gamma t} \cos (\omega t + \varphi) +\] + +Come prima valutiamo sia la posizione che la velocità in 0. +\begin{align*} +align* x(0) = A \cos \varphi\\ + \dert{x} = - \gamma A e^{-\gamma t} \cos (\omega t + \varphi) - \omega A e^{-\gamma t} \sin (\omega t + \varphi)\\ + \dert{x} (0) = - \gamma A \cos \varphi + - \omega A \sin \varphi +\end{align*} + +Si nota subito che questa non è una soluzione lineare, ma possiamo fare alcune semplificazioni del nostro sistema: + +\[ + \begin{cases} + x(0) = A \cos \varphi\\ + v(0) = - \gamma x(0) - \omega A \sin \varphi + \end{cases} +\] + +\[ + \begin{cases} + x(0) = A \cos \varphi\\ + - v(0) - \gamma x(0) = \omega A \sin \varphi + \end{cases} +\] + +\[ + \begin{cases} + x^2(0) = A^2 \cos^2 \varphi\\ + \8 \frac{v(0) + \gamma x(0)}{\omega} \9^2 = A^2 \sin^2 \varphi + \end{cases} +\] + +Ora sommandole otteniamo: +\[ + A^2 = x^2(0) + \8 \frac{v(0) + \gamma x(0)}{\omega} \9^2 +\] + +Mentre il rapporto fatto prima di quadrarle ci restituisce: +\[ + \tan \varphi = - \frac{v(0) + \gamma x(0)}{\omega} * \frac{1}{x(0)} +\] + + + + \end{document}