\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\title{Onde}
\author{Jacopo Basso Ricci}
\date{\today}
\usepackage{./../jacbr}

\begin{document}
	\maketitle
	\tableofcontents
	\pagebreak

\section{Notazione}
In questo documento userò sempre la scrittura

\[
	\dert{x} \text{  e  } \dertt{x}
\]

rispettivamente per derivate temporali di primo e secondo ordine.



\section{L'oscillatore armonico}
L'oscillatore è un modello idealizzato che noi studieremo per avere una base solida da cui partire.

\begin{defJ}{Oscillatore Armonico}{def: oscilArm}
	Immaginiamo di avere un piano orizzontale senza alcun attrito sulla quale posizioniamo una massa vincolata ad un punto fisso tramite una molla ideale.
\end{defJ}

NOTA: La molla è definita ideale in quanto non ha massa e rispetta la legge di Hooke.

Definito questo modello di base iniziamone lo studio.
Immaginiamo di spostare la massa dalla posizione di equilibrio della molla.
In questa condizione, per ora statica, facciamo l'analisi delle forze.

\[
	\sum_i \vec F_i = m \dertt{\vec x}
\]

Poiché il moto avviene soltanto lungo un asse, ha un solo grado di libertà, non è necessaria la notazione vettoriale.

\begin{align*}
	F = -k x = m \dertt{x} \\
	\dertt{x} + \frac k m x = 0
\end{align*}

L'equazione differenziale che abbiamo trovato, chiamata anche equazione del moto, ha come soluzione una famiglia di funzioni.
In particolare questa è un equazione differenziale lineare (compaiono solo x e le sue derivate), omogenea (a "destra" c'è 0), del secondo ordine (le derivate compaiono al massimo all'ordine 2).

Per semplificare la trattazione matematica:

\begin{defJ}{Pulsazione}{def:omp}
	\[
		\omega_p^2 = \frac k m
	\]
\end{defJ}

In questo modo l'equazione differenziale diventa:

\[
	\dertt{x} = - \omega_p^2 x
\]

Se noi guardiamo questa ODE ci rendiamo conto che dobbiamo trovare una funzione che differenziata 2 volte è la stessa funzione a meno di una costante.
Ci ricordiamo che questa è una caratteristica delle funzioni trigonometriche $\cos(x)$ e $\sin(x)$.
Proviamo a vedere cosa succede sostituendo queste funzioni a x.

\begin{align*}
	x(t) = \cos(t)\\
	\dert{x} = - \sin(t)\\
	\dertt{x} = - \cos(t)\\
\end{align*}

Siamo sulla buona strada, ora dobbiamo introdurre $ \omega_p $.

\begin{align*}
	x(t) = \cos(\omega_p t)\\
	\dert{x} = - \omega_p \sin(\omega_p t)\\
	\dertt{x} = - \omega_p^2 \cos(\omega_p t) = - \omega_p^2 x(t)
\end{align*}

Abbiamo una soluzione valida, ma non è l'unica che ci viene in mente, come detto prima possiamo fare lo stesso giochetto anche con $\sin(x)$.

\begin{align*}
	x(t) = \sin(\omega_p t)\\
	\dert{x} = \omega_p \cos(\omega_p t)\\
	\dertt{x} = - \omega_p^2 \sin(\omega_p t) = - \omega_p^2 x(t)
\end{align*}

Abbiamo quindi 2 soluzioni particolari indipendenti (l'una non è il prodotto dell'altra).
La soluzione generale dell'oscillatore armonico risulta essere la combinazione lineare delle 2 soluzioni particolari.

\[
	x(t) = A \cos(\omega_p t) + B \sin(\omega_p t)
\]

Un altro modo per scrivere la stessa cosa è questo:

\[
	x(t) = R \cos(\omega_p t + \varphi)
\]

\begin{dimJ}{Trasformazione dell'equazione}{dim:mate}
	Partiamo dalla soluzione:
	\[
		A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t).
	\]
	Vogliamo riscriverla come
	\[
		R\cos(\omega t + \varphi).
	\]
	Usiamo la formula di addizione:
	\[
		\cos(\omega t + \varphi) = \cos(\omega t)\cos\varphi - \sin(\omega t)\sin\varphi
	\]
	Dunque:
	\[
		R\cos(\omega t + \varphi) = R\cos\varphi\,\cos(\omega t) - R\sin\varphi\ \sin(\omega t).
	\]
	Uguagliando i coefficienti otteniamo il sistema:
	\[
		\begin{cases}
			A = R\cos\varphi,\\[6pt]
			B = -R\sin\varphi.
		\end{cases}
	\]
	Da cui:
	\[
		R = \sqrt{A^2 + B^2}, \qquad \tan\varphi = -\,\frac{B}{A}
	\]

	Pertanto:
	\[
		A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) = \sqrt{A^2 + B^2}\,\cos\8\omega t + \varphi\9
	\]
\end{dimJ}



\subsection{Condizioni iniziali}
Per ora abbiamo solo guardato ad una soluzione generale, come possiamo calarla in un caso specifico?
Se osserviamo il nostro sistema ci viene in mente che noi possiamo farlo partire in 2 modi: spostando la massa dal punto di riposo della molla, dando una leggera velocità iniziale alla molla o con una combinazione di queste 2 situazioni.
Partiamo dall'equazione generale:

\[
	x(t) = A \cos(\omega_p t) + B \sin(\omega_p t)
\]

Poiché noi vogliamo definire questa equazione a partire dalle condizioni iniziali capiamo cosa succede in 0.

\begin{align*}
	x(t) |_{t=0} = x(0) = A \\
	\dert{x} = - A \omega_p \sin(\omega_p t) + B \omega_p \cos(\omega_p t) \\
	\dert{x(0)} = B \omega_p = v(0)\\
	B = \frac{v(0)}{\omega_p}
\end{align*}

In questo modo abbiamo fissato i valori di A, B in modo tale che siano definite a partire dai valori fisici del sistema.
Con le formule ottenute prima possiamo anche muoverci tra le 2 soluzioni.

\begin{align*}
	x(t) = R \cos(\omega_p t + \varphi)\\
	R = \sqrt{A^2 + B^2}\\
	\tan \varphi = - \frac B A
\end{align*}



\subsection{Analisi Dimensionale e implicazioni}
Tutto quello che abbiamo trovato fin ora deve avere unità di misura coerenti.
Partiamo dall'analisi di $\omega_p$.

\[
	[\omega_p] = \left[\sqrt{\frac{K}{m}}\right] = \sqrt{\frac{\si{\newton\per\meter}}{\si{\kilogram}}} =  \sqrt{\frac{\si{\kilogram\per\second\squared}}{\si{\kilogram}}} = \sqrt{\si{\per\second\squared}} = \si{\per\second}
\]

Noi sappiamo che i $\si{\rad}$ sono un unità di misura che è in realtà adimensionale, ma per maggiore chiarezza preferiamo scrivere:
\[
	[\omega_p] = \si{\rad\per\second}
\]

Ragionando sulle caratteristiche delle funzioni trigonometriche risulta chiaro che questa $\omega_p$ è legata al periodo $T$. In particolare:

\begin{defJ}{Periodo}{def:periodo}
	\begin{align*}
		T = \frac{2\pi}{\omega_p}\\
		[T] = \frac{1}{\si{\per\second}} = \si{\second}
	\end{align*}
\end{defJ}

Come si nota anche le unità di misura sono coerenti.

Esiste anche un'altra grandezza ricavata da $\omega_p$, che è strettamente legata al periodo.

\begin{defJ}{Frequenza}{def:freq}
	\begin{align*}
		f = \frac 1 T \imp& \omega_p = 2 \pi f\\
		[f] =& \si{\per\second}
	\end{align*}
\end{defJ}



\section{Energia Oscillatore Armonico}
Facciamo lo studio dell'energia di un oscillatore armonico.
Per condizioni di stabilità sappiamo che il potenziale $U$ ha delle caratteristiche ben precise in un espansione di Taylor-McLawrin:

\begin{align*}
	U(x) &= U(0) + \derx{U(0)} x + \frac 1 2 \derxx{U(0)} x^2 + \dots\\
	U(0) &= const.\\
	\derx{U(0)} &= 0\\
	\derxx{U(0)} &> 0
\end{align*}

Ciò è intuitivo se pensiamo che per avere un oscillatore bisogna essere in una buca di potenziale.
Matematicamente significa che sono in un minimo e che la funzione lì ha concavità verso l'alto.
Il valore del potenziale in se è arbitrario in quanto io posso settare lo 0 ovunque voglia.

Cerchiamo ora di capirci qualcosa in più.
\[
	F = - \derx{U}
\]

Il potenziale nella nostra molla sappiamo essere:

\[
	U(x) = \frac 1 2 K x^2
\]

Ne consegue che la forza sia:

\[
	F = - \frac 1 2 2 K x = - K x
\]

Studiamo l'energia meccanica totale e chiamiamo il parametro $\alpha$ per parlare di un caso generale dove la forza abbia la stessa forma:

\begin{align*}
	E_m = K + U\\
	K = \frac 1 2 m \8\dert{x} \9^2\\
	U = \frac 1 2 \alpha x^2
\end{align*}

Cosa capiamo dall'equazione del moto?

\begin{align*}
	\dertt{x} + \omega_p^2 x = 0\\
	\omega_p = \sqrt{\frac \alpha m}\\
\end{align*}
Riportiamo l'equazione del moto distribuendo la massa
\begin{align*}
	m \dertt{x} + \alpha x = 0 \\
\end{align*}

Noi sappiamo, dall'analisi dimensionale qualcosa di molto interessante.
\begin{align*}
	[F*x] = \si{\newton\meter} = \si{\joule}\\
	[F*\dert{x}] = \si{\newton\meter\per\second} = \si{\watt}
\end{align*}

Moltiplichiamo l'equazione del moto per $\dert{x}$.
\[
	m \dertt{x} \dert{x} + \alpha x \dert{x} = 0
\]

Questo tipo di equazione lo troviamo quando deriviamo un quadrato, infatti:
\[
	\dert{f^2(t)} = 2 f(t) * \dert{f(t)}\\
\]

Sostituendo questo risultato dentro l'equazione del moto abbiamo:
\begin{align*}
	m \frac 1 2 \frac{d}{dt} \8 \dert{x} \9^2 + \alpha \frac 1 2 \dert{x^2} = 0\\
	\frac{d}{dt} \8 \frac 1 2 m \8\dert{x}\9^2 + \frac 1 2 \alpha x^2 \9 = 0 \\
	\imp \frac 1 2 m \8 \dert{x} \9^2 + \frac 1 2 \alpha x^2 = const. \\
	K + U = const.
\end{align*}

Abbiamo ritrovato dall'equazione del moto la conservazione dell'energia meccanica.
Possiamo quindi provare a vedere cosa risulta inserendo la soluzione dell'equazione.

\begin{align*}
	x(t) = A \cos(\omega_p t + \varphi)\\
	\dert{x} = - A \omega_p \sin(\omega_p t + \varphi)\\
	\text{Sostituendo}\\
	E_m = \frac m 2 A^2 \omega_p^2 \sin^2(\omega_p t + \varphi) + \frac \alpha 2 A^2 \cos^2(\omega_p t + \varphi)\\
	\text{Ricordando } \omega_p = \sqrt{\frac \alpha m}\\
	E_m = \frac \alpha 2 A^2 \8 \sin^2(\omega_p t + \varphi) + \cos^2(\omega_p t + \varphi) \9\\
	E_m = \frac \alpha 2 A^2
\end{align*}

Anche in questo caso si nota come $E_m$ è una costante.

Un altra osservazione molto interessante giunge dallo studio di $x$ e $\dert{x}$ in quanto queste 2 funzioni sono sfasate di $\frac \pi 2$, si dice che sono in quadratura di fase.




\section{Oscillatore armonico smorzato}
Per ora il sistema che abbiamo osservato non disperde energia, questo è fisicamente impossibile in quanto è un moto perpetuo.
Vogliamo quindi un equazione del moto che ci permetta di osservare una perdita di energia.
Introduciamo quindi una nuova forza: l'attrito viscoso.

\begin{defJ}{Attrito viscoso}{def:avis}
	\[
		\vec F = - m 2 \gamma \dert{\vec x}
	\]
	Il 2 servirà a semplificare la trattazione, non è strettamente necessario.
\end{defJ}

Otteniamo quindi una nuova equazione del moto.

\begin{align*}
	m \dertt{x} = - 2 \gamma m \dert{x} - \alpha x\\
	\dertt{x} + 2 \gamma \dert{x} + \frac \alpha m x = 0\\
	\dertt{x} + 2 \gamma \dert{x} + \omega_p^2 x = 0
\end{align*}

Questa è un equazione differenziale ordinaria di secondo grado.
Per questa equazione è però necessario applicare un metodo più sistematico e meno intuitivo, ma già sappiamo che basterà una combinazione lineare di 2 soluzioni specifiche.

\begin{dimJ}{Soluzione dell'oscillatore armonico smorzato}{dim:oas}
	Cerchiamo le soluzioni della forma:
	\[
		x(t) = e^{\lambda t}, \lambda \in \mathbb{C}
	\]
	Le derivate sono quindi:
	\begin{align*}
		\dert{x} = \lambda e^{\lambda t}\\
		\dertt{x} = \lambda^2 e^{\lambda t}
	\end{align*}
	Sostituendo nell'equazione differenziale posso direttamente raccogliere $e^{\lambda t}$.
	\[
		e^{\lambda t} [ \lambda^2 + 2 \gamma \lambda + \omega_p^2] = 0
	\]
	Poiché noi vogliamo fare in modo che questa equazione risulti 0 sappiamo che:
	\begin{align*}
		\lambda^2 + 2 \gamma \lambda + \omega_p^2=0\\
		\lambda_{1,2} = - \gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_p^2}\\
		x_1 = e^{\lambda_1 t}\\
		x_2 = e^{\lambda_2 t}
	\end{align*}
	Sappiamo già che la soluzione generale si avrà facendo una combinazione lineare:
	\[
		x(t) = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t}
	\]

	Valutiamo il segno di $\lambda_{1,2}$, separando i vari casi e tenendo a mente che questi esponenziali non posso esplodere a $\infty$ perché questo implicherebbe una generazione di energia dal nulla.

\end{dimJ}

\begin{dimJ}{Oscillatore armonico smorzato: SOVRA-SMORZATO}{dim:SOVRA-SMORZATO}
	\[
		\Delta > 0 \imp \gamma^2 > \omega_p^2
	\]

	Osserviamo cosa succede agli esponenziali.
	\begin{align*}
		\lambda_2 = - \gamma - \sqrt \Delta \imp \lambda_2 < 0\\
		\lambda_1 = - \gamma + \sqrt \Delta \imp - \gamma + \sqrt{\gamma^2 - \omega_p^2} < 0 \imp \lambda_1 < 0
	\end{align*}

	Abbiamo quindi una combinazione lineare valida:
	\[
		x(t) = C_1 e^{-\abs{\lambda_1} t} + C_2 e^{-\abs{\lambda_2} t}
	\]

	Scritta in questo modo si nota perfettamente che sono 2 esponenziali che tenendo a 0 senza aver compiuto un oscillazione vera e propria.
	Questo sistema si chiama: SOVRA-SMORZATO.
\end{dimJ}

\begin{dimJ}{Oscillatore armonico smorzato: SMORZAMENTO CRITICO}{dim:SMORZAMENTO-CRITICO}
	Passiamo alla seconda possibilità:
	\[
		\Delta = 0
	\]

	Questo ci crea non pochi problemi perché ora abbiamo una sola equazione e non 2 soluzioni particolari.
	\[
		\lambda = - \gamma \imp x_1(t) = e^{-\gamma t}
	\]

	Per trovare una nuova soluzione possiamo aggiungere un polinomio a questa soluzione.
	Così facendo otteniamo:
	\[
		x_2(t) = t e^{-\gamma t}
	\]

	La nostra combinazione lineare è quindi:
	\[
		x(t) = e^{-\gamma t} \8 C_1 + C_2 t \9
	\]

	Questo sistema viene chiamato SMORZAMENTO CRITICO. Questo è quello che si vuole ottenere in sistemi meccanici reali come i pistoni di una macchina.
\end{dimJ}

\begin{dimJ}{Oscillatore armonico smorzato: SOTTO-SMORZATO}{dim:SOTTO-SMORZATO}
	Ora abbiamo l'ultimo caso:
	\[
		\Delta < 0
	\]

	Come sappiamo le soluzioni sono complesse coniugate:
	\begin{align*}
		\lambda_{1,2} = -\gamma \pm i \sqrt{\omega_p^2 - \gamma^2}\\
		x_1(t) = e^{-\gamma t} * e^{i \omega t}\\
		x_2(t) = e^{-\gamma t} * e^{- i \omega t}
	\end{align*}

	In queste formulazioni compare:
	\begin{defJ}{Omega}{def:omega}
		\[
			\omega = \sqrt{\omega_p^2 - \gamma^2}
		\]
	\end{defJ}

	Noi sappiamo dalle formule di Eulero:
	\[
		e^{\pm \omega t} = \cos \omega t \pm i \sin \omega t
	\]

	Di conseguenza:
	\begin{align*}
		x_1(t) = e^{-\gamma t} \cos \omega t + i e^{-\gamma t} \sin \omega t\\
		x_2(t) = e^{-\gamma t} \cos \omega t - i e^{-\gamma t} \sin \omega t
	\end{align*}

	Ci accorgiamo che queste 2 soluzioni indipendenti sono comunque una combinazione lineare di soluzioni più semplici da scrivere, per non dover portare in giro tutta quella roba riscriviamo:
	\begin{align*}
		\hat x_1 (t) = e^{-\gamma t} \cos \omega t \\
		\hat x_2 (t) = e^{-\gamma t} \sin \omega t
	\end{align*}

	La soluzione totale è quindi:
	\[
		x(t) = e^{-\gamma t} [C_1 \cos \omega t + C_2 \sin \omega t]
	\]

	Come prima è possibile riscrivere questa soluzione come:
	\[
		x(t) = A e^{- \gamma t} \cos (\omega t + \varphi)
	\]

	In questo caso l'oscillatore è detto SOTTO-SMORZATO o DEBOLMENTE SMORZATO
\end{dimJ}

\begin{dimJ}{Trasformazione dell'equazione}{dim:trasformazioneInc}
	Partiamo dall'espressione
	\[
		x(t)= e^{-\gamma t}\,[C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t)].
	\]

	Vogliamo riscriverla nella forma
	\[
		x(t)= A e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\varphi).
	\]

	Utilizziamo l'identità trigonometrica
	\[
		\cos(\omega t+\varphi)=\cos\varphi\,\cos(\omega t)-\sin\varphi\,\sin(\omega t).
	\]

	Pertanto
	\[
		A\cos(\omega t+\varphi) = A\cos\varphi\,\cos(\omega t) - A\sin\varphi\,\sin(\omega t).
	\]

	Confrontando con l'espressione iniziale otteniamo il sistema:
	\[
		\begin{cases}
			C_1 = A\cos\varphi,\\[4pt]
			C_2 = -A\sin\varphi.
		\end{cases}
	\]

	Elevando al quadrato e sommando:
	\[
		C_1^2 + C_2^2 = A^2(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi) = A^2,
	\]
	da cui
	\[
		A = \sqrt{C_1^2 + C_2^2}.
	\]

	Per la fase:
	\[
		\tan\varphi = -\frac{C_2}{C_1}.
	\]

	Quindi la soluzione può essere riscritta come
	\[
		x(t) = A e^{-\gamma t} \cos(\omega t + \varphi),
	\]
	dove
	\[
		A = \sqrt{C_1^2 + C_2^2}, \qquad \varphi = \arctan\!\left(-\frac{C_2}{C_1}\right).
	\]

\end{dimJ}



\subsection{Condizioni iniziali}
Come fatto per l'oscillatore armonico semplice vogliamo trovare un legame tra le condizioni iniziali e i parametri dell'equazione.
\[
	x(t) = A e^{-\gamma t} \cos (\omega t + \varphi)
\]

Come prima valutiamo sia la posizione che la velocità in 0.
\begin{align*}
align*	x(0) = A \cos \varphi\\
	\dert{x} = - \gamma A e^{-\gamma t} \cos (\omega t + \varphi) - \omega A e^{-\gamma t} \sin (\omega t + \varphi)\\
	\dert{x} (0) = - \gamma A \cos \varphi + - \omega A \sin \varphi
\end{align*}

Si nota subito che questa non è una soluzione lineare, ma possiamo fare alcune semplificazioni del nostro sistema:

\[
	\begin{cases}
		x(0) = A \cos \varphi\\
		v(0) = - \gamma x(0) - \omega A \sin \varphi
	\end{cases}
\]

\[
	\begin{cases}
		x(0) = A \cos \varphi\\
		- v(0) - \gamma x(0) = \omega A \sin \varphi
	\end{cases}
\]

\[
	\begin{cases}
		x^2(0) = A^2 \cos^2 \varphi\\
		\8 \frac{v(0) + \gamma x(0)}{\omega} \9^2 = A^2 \sin^2 \varphi
	\end{cases}
\]

Ora sommandole otteniamo:
\[
	A^2 = x^2(0) + \8 \frac{v(0) + \gamma x(0)}{\omega} \9^2
\]

Mentre il rapporto fatto prima di quadrarle ci restituisce:
\[
	\tan \varphi = - \frac{v(0) + \gamma x(0)}{\omega} * \frac{1}{x(0)}
\]




\section{Energia Oscillatore Armonico Smorzato}
Riscriviamo l'equazione:
\begin{align*}
	x(t) = A e^{- \gamma t } \cos(\omega t + \varphi)\\
	E_m = K + U = \frac 1 2 m \8 \dert{x} \9^2 + \frac 1 2 \alpha x^2\\
	\dert{x} = - A \gamma e^{- \gamma t} \cos(\omega t + \varphi) - A \omega e^{- \gamma t} \sin(\omega t + \varphi)
\end{align*}

A questo punto abbiamo tutto quello che ci serve per ricavare E.
\[
	K = \frac 1 2 m \8 \dert{x} \9^2 = \frac 1 2 m A^2 e^{- 2 \gamma t} [\gamma \cos(\omega t + \varphi) - \omega \sin(\omega t + \varphi)]^2
\]



\subsection{Prima approssimazione}
La formula è molto pesante da portare in giro e per semplificarla dobbiamo fare delle approssimazioni.
Accettiamo che $\gamma << \omega$, questo ha senso perché stiamo studiando il caso più interessante: quando il moto prosegue per un po' e non tutta l'energia viene completamente fermato.

Con questa ipotesi vale: $\gamma \cos(\dots) << \omega \sin(\dots)$.
\[
	K \simeq \frac 1 2 m A^2 e^{- 2 \gamma t} \omega^2 \sin^2(\omega t + \varphi)
\]

Nell'energia, e non nella fase (in quanto l'errore si accumulerebbe ciclo per ciclo), possiamo approssimare ancora e osservare che se $\gamma << \omega \imp \omega \simeq \omega_p = \frac \alpha m$.
\[
	K = \frac 1 2 \alpha A^2 e^{-2\gamma t} \sin^2(\omega t + \varphi)
\]

Torniamo all'energia meccanica totale.
\[
	E_m = K + U = \frac 1 2 \alpha A^2 e^{-2\gamma t} \sin^2(\omega t + \varphi) + \frac 1 2 \alpha A^2 e^{-2\gamma t}\cos^2(\omega t + \varphi) = \frac 1 2 \alpha A^2 e^{-2\gamma t }
\]
\[
	E_m = \frac 1 2 \alpha A^2 e^{-2\gamma t } = \frac 1 2 m \omega_p^2 A^2 e^{-2\gamma t}
\]
In questa approssimazioni l'energia meccanica decade come un esponenziale con costante $-2\gamma t$.
Ovviamente questo vale in determinate approssimazioni, infatti non ha senso che l'energia durante un ciclo si perda sempre allo stesso modo, questo perché tanto più si muove rapidamente il grave tanto più fa attrito.


\subsection{Seconda approssimazione}
Poiché abbiamo preso l'andamento oscillatorio dell'energia meccanica vogliamo un approssimazione migliore e più precisa.
Ripartiamo dall'energia:
\[
	E_m = K + U = \frac 1 2 m \8 \dert{x} \9^2 + \frac 1 2 \alpha x^2
\]

Cerchiamo di capire come varia:
\[
	\dert{E_m} = \frac 1 2 2 m \dert{x} \dertt{x} + \frac 1 2 2 \alpha \dert{x} x = \dert{x} \8 m \dertt{x} + \alpha x \9
\]

Se torniamo all'equazione del moto ci accorgiamo che:
\begin{align*}
	m \dertt{x} = - \alpha x - 2 \gamma m \dert{x}\\
	m \dertt{x} + \alpha x = - 2 \gamma m \dert{x}
\end{align*}

Sostituendo alla nostra equazione:
\[
	E_m = -2 \gamma m \8 \dert{x} \9^2
\]

Possiamo dimostrare che tutte le perdite sono legate alla forza di attrito viscoso.
Intuitivamente è l'unica forza non conservativa e quindi è l'unica che può disperdere energia.
Dimostriamolo:
\begin{align*}
	dW = F_v dx \imp P_{visc} = \dert{W} = F_v * \dert{x} = - 2 \gamma m \8 \dert{x} \9^2
\end{align*}

Scriviamo la formula in modo chiaro:
\[
	\dert{E_m} = -2 \gamma m \8 \dert{x} \9^2 = - 2 \gamma m A^2 \omega_p^2 e^{-2\gamma t} \sin^2 (\omega t + \varphi)
\]




\section{Oscillatore armonico forzato}
L'oscillatore smorzato è destinato a fermarsi, immaginiamo di dare energia al sistema.
Introduciamo quindi una forzate:
\[
	\dertt{x} + 2 \gamma \dert{x} + \omega_p^2 x = \frac{F_0}{m} \cos \omega_F t
\]

Oscillatore forzato con forzante periodica o armonica.

Anche in questo caso bisogna identificare una soluzione e la teoria delle equazioni differenziali ci dice che si ottiene sommando la soluzione generale per l'equazione differenziale omogenea associata e una soluzione particolare dell'equazione completa.

Nel nostro caso noi già abbiamo la soluzione generale dell'omogenea associata:
\[
	x_0(t) = A e^{-\gamma t} \cos (\omega t + \varphi_0)
\]

Perciò la soluzione generale sarà:
\[
	x(t) = A e^{-\gamma t} \cos (\omega t + \varphi_0) + x_p(t)
\]

Come troviamo $x_p(t)$ ? Sicuramente ha una forma ben specifica:
\[
	x_p(t) = B \cos(\omega_f t + \varphi)
\]

Quali valori di $B$ e $\varphi$, se esistono, devo sostituire?
\[
	x(t) = A e^{-\gamma t} \cos (\omega t + \varphi_0) + B \cos(\omega_f t + \varphi)
\]

Questa è molto interessante perché per $ t >> \tau = \frac 1 \gamma$, superata la fase transiente, $x(t) = x_p(t)$.
In altre parole quando il sistema va a regime la componente che decade come un esponenziale è 0.
Tutto quello che resta è soltanto l'onda data dalla forzante.

\begin{dimJ}{Dimostrazione della soluzione, parte 1}{dim:sol}
	Introduciamo una funzione complessa \(z(t)\) tale che \(x(t)=\Re[z(t)]\).
	Poiché \(\cos\alpha=\Re(e^{i\alpha})\), l'equazione reale equivale alla parte reale di
	\[
		\dertt{z} + 2\gamma \dert{z} + \omega_p^2 z = \frac{F_0}{m} e^{i\omega_f t}.
	\]

	Consideriamo prima l'equazione omogenea:
	\[
		\dertt{z_h} + 2\gamma \dert{z_h} + \omega_p^2 z_h = 0.
	\]

	La soluzione caratteristica è \(z_h(t)=C e^{(-\gamma+i\omega)t}\), dove \(\omega=\sqrt{\omega_p^2-\gamma^2}\).
	Scrivendo \(C=A e^{i\varphi_0}\), otteniamo
	\[
		z_h(t)=A e^{-\gamma t} e^{i(\omega t+\varphi_0)}.
	\]

	Prendendo la parte reale:
	\[
		x_h(t)=A e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\varphi_0),
	\]
	che è il primo termine richiesto.
\end{dimJ}

\begin{dimJ}{Dimostrazione della soluzione, parte 2}{dim:sol2}
	Cerchiamo ora una soluzione particolare nella forma \(z_p(t)=K e^{i\omega_f t}\)
	Calcoliamo le derivate:
	\[
		\dert{z_p} = i\omega_f K e^{i\omega_f t}, \qquad \dertt{z_p} = -\omega_f^2 K e^{i\omega_f t}
	\]

	Sostituendo nell'equazione complessa:
	\[
		(-\omega_f^2 K + 2 i\gamma\omega_f K + \omega_p^2 K)e^{i\omega_f t} = \frac{F_0}{m} e^{i\omega_f t}
	\]

	Dividendo per \(e^{i\omega_f t}\):
	\[
		K(\omega_p^2 - \omega_f^2 + 2i\gamma\omega_f) = \frac{F_0}{m}
	\]

	Da cui:
	\[
		K = \frac{F_0/m}{\omega_p^2-\omega_f^2+2i\gamma\omega_f}
	\]

	Scriviamo \(K = B e^{i\varphi}\). Allora:
	\[
		z_p(t)=B e^{i(\omega_f t+\varphi)}
	\]

	Prendendone la parte reale:
	\[
		x_p(t)=B\cos(\omega_f t+\varphi)
	\]
	che coincide con il secondo termine della soluzione proposta.

	La soluzione complessiva è:
	\[
		z(t)=A e^{(-\gamma+i\omega)t} e^{i\varphi_0} + B e^{i(\omega_f t+\varphi)}
	\]

	Prendendo la parte reale si ottiene finalmente:
	\[
		x(t)=A e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\varphi_0) + B\cos(\omega_f t+\varphi)
	\]
	che soddisfa l'equazione originale. CVD.
\end{dimJ}



\subsection{Condizioni Iniziali}
Sfruttiamo i risultati della dimostrazione.
Poniamo ora \(D = \omega_p^2-\omega_f^2 + 2 i \gamma \omega_f\)

Il modulo del denominatore è
\[
	\abs{D} = \sqrt{(\omega_p^2 - \omega_f^2)^2 + (2\gamma\omega_f)^2}
\]

Quindi il modulo di \(K\) è
\[
	B = \abs{K} = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_p^2 - \omega_f^2)^2 + (2\gamma\omega_f)^2}}
\]

Scriviamo ora \(K = B e^{i\varphi}\), proprio come nella dimostrazione.
Per determinare l'angolo \(\varphi\) osserviamo che \(K\) è il reciproco (a meno di un fattore reale positivo \(F_0/m\)) del numero complesso
\[
	D = a + ib \qquad\text{con}\quad a = \omega_p^2 - \omega_f^2,\quad b = 2\gamma\omega_f
\]

Il motivo per cui compare il reciproco risulta dalla soluzione particolare: si impone la forma \(z_p(t)=K e^{i\omega_f t}\), la si inserisce nell'equazione differenziale e i termini derivati producono un fattore complesso moltiplicativo che è proprio \(D\).
Per soddisfare l'equazione, questo fattore deve essere compensato dividendo per esso, dunque \(K\) è proporzionale a \(1/D\).
In altre parole, il numero complesso \(D\) "pesa" la risposta del sistema, e \(K\) deve contenerne il reciproco per annullarlo.

Il numero \(D = a + ib\) può essere rappresentato come vettore nel piano complesso con una certa lunghezza \(\abs{D}\) e un certo angolo \(\theta\).
Questo angolo soddisfa:
\[
	\tan\theta = \frac{b}{a}
\]
perché il rapporto tra parte immaginaria e parte reale è la tangente dell'angolo del vettore.

Dunque possiamo scrivere
\[
	D = \abs{D}\, e^{i\theta}
\]

Il reciproco ha la forma
\[
	\frac{1}{D} = \frac{1}{\abs{D}} e^{-i\theta}
\]

Qui si vede immediatamente che il reciproco inverte l'angolo del numero complesso.
Otteniamo quindi
\[
	\varphi = -\theta = -\arctan\!\left(\frac{2\gamma\omega_f}{\omega_p^2-\omega_f^2}\right)
\]



\subsection{Casi particolari}
Compresa la natura delle condizioni iniziali possiamo fare una minima discussione di quello che succede per semplici limiti notevoli.

\subsubsection*{Caso \(\gamma \sim 0\)}
Quando lo smorzamento è molto piccolo, il termine transitorio decade molto lentamente e il sistema si comporta come un oscillatore quasi conservativo.
In particolare, nel coefficiente di risposta stazionaria
\[
	B = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_p^2 - \omega_f^2)^2 + (2\gamma\omega_f)^2}}
\]

il termine \(2\gamma\omega_f\) al denominatore diventa trascurabile tranne che in prossimità della risonanza.
Ne segue che, lontano dalla risonanza, la risposta del sistema è molto piccola, mentre in prossimità di \(\omega_f \sim \omega_p\) il denominatore tende a valori molto bassi e l'ampiezza cresce sensibilmente.
Nel limite \(\gamma \to 0\) la risonanza tende a diventare infinitamente "stretta" e il sistema oscilla con ampiezza molto grande quando la frequenza di forzamento coincide con quella naturale.

\subsubsection*{Caso \(\omega_f \sim \omega_p\)}
Quando la frequenza di forzamento si avvicina alla frequenza naturale, il termine
\[
	(\omega_p^2 - \omega_f^2)^2
\]
nel denominatore della risposta si riduce drasticamente. Il valore di \(B\) diventa quindi dominato dal termine di smorzamento
\[
	(2\gamma\omega_f)^2
\]
e ciò porta a un picco di ampiezza attorno alla risonanza.
Per \(\gamma\) piccolo, questo picco è particolarmente accentuato e la curva della risposta assume la tipica forma risonante molto appuntita.
In sintesi, per \(\omega_f \sim \omega_p\) la risposta del sistema è grande e dominata quasi completamente dal regime forzato, mentre il transitorio diventa trascurabile dopo tempi brevi.

\subsubsection*{Comportamento di \(\varphi\) per \(\omega_f \sim \omega_p\)}
La fase si ottiene da
\[
	\varphi = - \arctan\!\left(\frac{2\gamma\omega_f}{\omega_p^2 - \omega_f^2}\right)
\]

Quando \(\omega_f\) si avvicina a \(\omega_p\), il termine \(\omega_p^2 - \omega_f^2\) tende a zero e il rapporto nella tangente diventa molto grande.
Ciò implica che l'angolo tende a
\[
	\varphi \to -\frac{\pi}{2}
\]
poiché la tangente cresce senza limite e l'arcotangente tende a \(\pm \pi/2\) a seconda del segno.
Nel caso tipico con \(\gamma > 0\) e \(\omega_f\) crescente verso \(\omega_p\), l'argomento è positivo e dunque la fase risulta negativa e vicina a \(-\pi/2\).

Fisicamente questo significa che, in prossimità della risonanza, l'oscillazione imposta dal forzamento è in ritardo di un quarto di periodo rispetto alla forza esterna, comportamento caratteristico degli oscillatori debolmente smorzati.
Si dice che oscillazione e forzamento sono in quadratura di fase.




\section{Energia oscillatore armonico forzato}
Per situazioni \(\tau >> \frac 1 \gamma\) vale la soluzione:
\[
	x(t) = B \cos(\omega t + \varphi)
\]

Come sempre sappiamo:
\[
	E_m = K + U \qquad
	K = \frac 1 2 m \8\dert{x} \9^2 \quad
	U = \frac 1 2 \alpha x^2
\]

Facciamo la derivata della soluzione:
\[
	\dert{x} = - B \omega \sin(\omega t + \varphi)
\]

Sostituendo otteniamo:
\[
	K = \frac 1 2 m B^2 \omega^2 \sin^2(\omega t + \varphi) \quad
	U = \frac 1 2 \alpha B^2 \cos^2(\omega t + \varphi)
\]

Ricordiamo che \(\omega_p^2 = \frac \alpha m \imp \alpha = \omega_p^2 m\).
La soluzione risulta quindi:
\[
	E_m = K + U = \frac 1 2 m B^2 \8 \omega^2 \sin^2(\omega t + \varphi) + \omega_p^2 \cos^2(\omega t + \varphi) \9
\]

Questa formula sembra del tutto simile alla soluzione che avevamo trovato per il moto armonico semplice, ma i 2 termini non si compensano esattamente.
Ciò è ragionevole in quanto l'energia cinetica è data dal moto forzato, mentre l'energia elastica segue il moto della molla.
Infatti se la forzante fosse in risonanza(\(\omega = \omega_p\)):
\[
	E_m = \frac 1 2 m \omega_p^2 B^2
\]

Ritroviamo un oscillatore armonico semplice.
In questo modo stiamo dando l'energia istantaneamente quando viene persa con la forzante.

Torniamo al caso generale:
\begin{align*}
	E_m = K + U = \frac 1 2 m B^2 \8 \omega^2 \sin^2(\omega t + \varphi) + \omega_p^2 \cos^2(\omega t + \varphi) \9\\
	E_m = \frac 1 2 m B^2 \{ \omega^2 [1 - \cos^2(\omega t + \varphi)]  + \omega_p^2 \cos^2(\omega t + \varphi) \}\\
	E_m = \frac 1 2 m B^2 \{ \omega^2 + (\omega_p^2 - \omega^2) \cos^2(\omega t + \varphi) \}
\end{align*}

L'equazione dell'energia non decade ma oscilla tra 2 valori d'energia.
L'oscillatore è quindi un moto perpetuo, ma questo non va contro le leggi della fisica poiché al sistema viene continuamente data energia.



\section{Sistemi a più gradi di libertà}
Partiamo da un modello molto semplice: 2 pendoli legati da una molla.
I 2 pendoli sarebbero totalmente indipendenti se non fosse per la molla.
Facciamo un po' di nomenclatura:
\begin{itemize}
	\item $m$: massa delle molle
	\item $K$: costante elastica della molla
	\item $x_1$: spostamento della massa 1 dall'equilibrio
	\item $x_2$: spostamento della massa 2 dall'equilibrio
	\item $l$: lunghezza del pendolo
\end{itemize}

Possiamo scrivere:
\[
	F_1 = - \frac{mg}{l} x_1 - K(x_1 - x_2) \qquad
	F_2 = - \frac{mg}{l} x_2 - K(x_2 - x_1)
\]

Scriviamo le equazioni del moto per le 2 masse:
\[
	m \dertt{x_1} = - \frac{mg}{l} x_1 - K(x_1 - x_2) \qquad
	m \dertt{x_2} = - \frac{mg}{l} x_2 - K(x_2 - x_1)
\]

Sommiamo e sottraiamo le 2 equazioni:
\begin{align*}
	m \8 \dertt{x_1} + \dertt{x_2} \9 = - \frac{mg}{l} (x_1 + x_2)\\
	m \8 \dertt{x_1} - \dertt{x_2} \9 = - \frac{mg}{l} (x_1 - x_2) - 2 K (x_1 - x_2)
\end{align*}

A questo punto definisco $u_a = x_1 + x_2$ e $u_b = x_1 - x_2$.
Otteniamo 2 equazioni:
\begin{align*}
	m \dertt{u_a} = - \frac{mg}{l} u_a\\
	m \dertt{u_b} = - \frac{mg}{l} u_b - 2 K u_b
\end{align*}

Queste sono equazioni sono indipendenti e sappiamo come risolverle.
\begin{align*}
	\dertt{u_a} + \frac g l u_a = 0 \qquad \dertt{u_a} + \omega_a^2 u_a = 0\\
	\dertt{u_b} + \8 \frac{g}{l} + 2 \frac K m \9 u_b = 0 \qquad \dertt{u_b} + \omega_b^2 u_b = 0
\end{align*}

Le soluzioni sono quindi:
\[
	u_a = A_a \cos(\omega_a t + \varphi_a) \qquad
	u_b = A_b \cos(\omega_b t + \varphi_b)
\]

Ora noi dobbiamo tornare indietro a $x_1$, $x_2$.
\begin{align*}
	x_1(t) = \frac{u_a + u_b}{2} \\
	x_2(t) = \frac{u_a - u_b}{2}
\end{align*}

Abbiamo completato lo studio del sistema.
Se osserviamo i moti dei pendoli questi sono la sovrapposizione di 2 moti semplici.
Nel modo $u_a$ le 2 masse si muovono insieme e la molla non fa nulla, mentre nel modo $u_b$ i pendoli si contraggono e si aprono in modo simmetrico.
Il nostro moto complesso diventa facile da studiare se pensato come la sovrapposizione di 2 moti distinti e indipendenti.
Questi sono chiamati MODI NORMALI, nel caso specifico informalmente sono chiamati modo a pendolo e modo a respiro.



\section{Battimenti}
Pendiamo l'esempio precedente e caliamoci nel caso specifico dove il pendolo parte da fermo con le seguenti posizioni iniziali:
\[
	x_1(0) = -2A \qquad
	x_2(0) = 0
\]

Se noi vogliamo studiare quello che sta succedendo dobbiamo scomporre la nostra condizione iniziale nei 2 modi semplici.
Facciamo una prova ragionata: prendendo il modo a pendolo e mettendolo a $-A$ avremmo che
\[
		x_1(0) = -A \qquad
		x_2(0) = -A
\]

A questo punto introduciamo un modo a respiro che sia "allargato" di una A. Il nostro modo a respiro avrebbe condizione iniziale:
\[
		x_1(0) = -A \qquad
		x_2(0) = +A
\]

La somma dei 2 modi all'istante iniziale da la condizione iniziale:
\[
	x_1(0) = -2A \qquad
	x_2(0) = 0
\]

Abbiamo quindi scomposto il caso iniziale nei suoi 2 modi normali.
\[
	\omega_a = \sqrt{\frac g l} \qquad
	\omega_b = \sqrt{\frac g l + 2 \frac k m}
\]

Se osserviamo il moto della massa 1 $x_1$ ci accorgiamo che è la somma di 2 oscillazioni simili ma non uguali.
L'effetto prodotto è quello di un oscillazione che ogni tanto interferisce in modo costruttivo ed ogni tanto in modo distruttivo.
Questo fenomeno si chiamano BATTIMENTI.
\[
	x_1(t) = C_a \cos(\omega_a t + \varphi_a) + C_b \cos(\omega_b t + \varphi_b)
\]

Nel caso specifico: $\varphi_a = \varphi_b = 0$, $C_a=C_b$:
\[
	x_1(t) = A [\cos (\omega_a t) + \cos (\omega_b t)]
\]

Usiamo le formule di Prostaferesi:
\[
	\cos\alpha + \cos\beta = 2 \cos\!\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\!\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \qquad
	\alpha = \omega_a t \quad
	\beta = \omega_b t
\]

Definiamo 2 variabili con nomi che sembrano casuali, ma diventeranno chiari:
\[
	\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\omega_a + \omega_b}{2} t = \omega_M t \qquad
	\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{\omega_a - \omega_b}{2} t = \omega_{inv} t
\]

Ne risulta che:
\[
	x_1(t) = 2 \cos(\omega_M t) \cos(\omega_{inv} t)
\]

Risulta chiaro che $\omega_{inv} << \omega_M$.
Se noi grafichiamo questo andamento ci accorgeremmo che $\omega_{inv}$ rappresenta l'inviluppo della curva,
mentre $\omega_M$ le oscillazioni più piccole che avvengono nel "range" definito dall'inviluppo.



\section{Due masse collegate da tre molle}
Consideriamo ora un sistema più semplice rispetto ai pendoli sempre con 2 gradi di libertà.
Abbiamo due masse identiche collegate da tre molle tutte uguali tra loro.
Il moto avviene nel piano e assumiamo la condizione di piccoli spostamenti verticali rispetto alla distanza di riposo:
\[
	\frac{y_i}{a} \ll 1
\]

Definiamo:
\begin{itemize}
	\item $m$: massa delle due masse
	\item $K$: costante elastica delle tre molle
	\item $a$: distanza di riposo tra gli attacchi delle molle
	\item $y_1$: spostamento verticale della massa 1
	\item $y_2$: spostamento verticale della massa 2
\end{itemize}

Nel limite degli angoli piccoli valgono le approssimazioni:
\[
	\sin\theta \simeq \theta \simeq \tan\theta
\]

Tutte le componenti orizzontali delle forze risultano di ordine superiore e quindi trascurabili.
La tensione nelle molle in equilibrio vale $T_0 = Ka$.
Quando il sistema viene deformato, le componenti verticali delle tensioni generano le forze risultanti.

\subsection{Forze sulle masse}
Per la massa 1 le due molle (una verso la parete e una verso la massa 2) danno contributi:
\[
	F_{1y} = - T_0 \frac{y_1}{a} - T_0 \frac{y_1 - y_2}{a}
\]

Per la massa 2 otteniamo:
\[
	F_{2y} = - T_0 \frac{y_2}{a} - T_0 \frac{y_2 - y_1}{a}
\]

Scriviamo le equazioni del moto:
\begin{align*}
	m \dertt{y_1} &= - 2 \frac{T_0}{a} y_1 + \frac{T_0}{a} y_2 \\
	m \dertt{y_2} &= - 2 \frac{T_0}{a} y_2 + \frac{T_0}{a} y_1
\end{align*}

Queste equazioni sono accoppiate come nel caso dei pendoli.

\subsection{Combinazioni simmetrica e antisimmetrica}
Sommiamo e sottraiamo le due equazioni:
\[
	\dertt{(y_1 + y_2)} = - \frac{T_0}{ma} (y_1 + y_2)
\]
\[
	\dertt{(y_1 - y_2)} = - 3 \frac{T_0}{ma} (y_1 - y_2)
\]

Introduciamo le variabili:
\[
	u_a = y_1 + y_2 \qquad
	u_b = y_1 - y_2
\]

Otteniamo due oscillatori disaccoppiati:
\begin{align*}
	\dertt{u_a} + \omega_a^2 u_a &= 0 \qquad \omega_a^2 = \frac{T_0}{ma} \\
	\dertt{u_b} + \omega_b^2 u_b &= 0 \qquad \omega_b^2 = 3 \frac{T_0}{ma}
\end{align*}

Le soluzioni generali sono:
\[
	u_a = A_a \cos(\omega_a t + \varphi_a) \qquad
	u_b = A_b \cos(\omega_b t + \varphi_b)
\]

Riscriviamo $y_1$ e $y_2$:
\begin{align*}
	y_1(t) &= \frac{u_a + u_b}{2} \\
	y_2(t) &= \frac{u_a - u_b}{2}
\end{align*}

\subsection{Interpretazione fisica dei modi}
Come nel caso dei pendoli, i modi normali hanno una chiara interpretazione:

\paragraph{Modo simmetrico $u_a$}
\[
	y_1 = y_2
\]
Le masse oscillano insieme.
La molla centrale non si deforma e non modifica la tensione.

\paragraph{Modo antisimmetrico $u_b$}
\[
	y_1 = - y_2
\]
Le masse oscillano in opposizione di fase e la molla centrale si allunga e si accorcia durante il moto.
La frequenza è maggiore perché intervengono tre molle invece di una sola.

\subsection{Generalizzazione e limite continuo}
Un sistema con $N$ gradi di libertà possiede esattamente $N$ modi normali.
Ogni configurazione del moto può essere scritta come combinazione lineare dei modi.

Aumentando il numero delle masse:
\begin{itemize}
	\item il primo modo è sempre quello a frequenza più bassa e con tutte le masse in fase
	\item gli altri modi presentano un numero crescente di inversioni di fase
\end{itemize}

Nel limite $N \to \infty$ otteniamo una corda continua con infiniti modi normali:
\[
	\text{modo fondamentale}, \quad \text{secondo modo}, \quad \text{terzo modo}, \dots
\]
Ogni oscillazione possibile della corda può essere espressa come combinazione lineare dei suoi modi normali.
Questo principio è alla base della decomposizione di Fourier e della descrizione ondulatoria dei sistemi con infiniti gradi di libertà.
\begin{comment}

\section{Dai sistemi discreti al continuo}
Vogliamo ora fare un passo ulteriore: passare dal caso discreto ad un sistema continuo.
Per farlo consideriamo una catena di masse uguali collegate da molle identiche, una ''catena'' di masse e molle, che può essere pensata come un modello di una corda elastica.

Riprendiamo la configurazione di riferimento.
La massa generica la indichiamo con indice $i$, mentre le due masse adiacenti si trovano nelle posizioni $i-1$ e $i+1$.
Indichiamo con $y_i(t)$ lo spostamento della massa $i$ lungo la direzione verticale.

Le forze elastiche che agiscono sulla massa $i$ dipendono solo dagli allungamenti delle due molle adiacenti.
Possiamo quindi scrivere la forza risultante:
\[
	F_i = - T_0 \8 y_i - y_{i-1} \9 - T_0 \8 y_i - y_{i+1} \9
\]

$T_0$ rappresenta la costante elastica equivalente delle molle.
Raccogliendo i termini:
\[
	F_i = - T_0 \8 - y_{i-1} + 2 y_i - y_{i+1} \9
\]

Applicando la seconda legge di Newton otteniamo l'equazione del moto per la massa $i$:
\[
	m \dertt{y_i} = - T_0 \8 - y_{i-1} + 2 y_i - y_{i+1} \9
\]

Questa è una relazione ricorsiva che vale per qualsiasi massa della catena.

\subsection{Passaggio al continuo}
Ora immaginiamo che le masse siano sempre più vicine tra loro, separate da una distanza $a$.
Definiamo la variabile spaziale continua $x$ tale che:
\[
	y_i(t) \to y(x,t) \qquad
	y_{i-1}(t) \to y(x - a, t) \qquad
	y_{i+1}(t) \to y(x + a, t)
\]

L'equazione del moto diventa quindi:
\[
	\dertt{y(x,t)} = - \frac{T_0}{m} \8 - y(x - a,t) + 2 y(x,t) - y(x + a,t) \9
\]

A questo punto sfruttiamo che $a$ è molto piccolo rispetto alla lunghezza d'onda delle oscillazioni che ci interessano.
Possiamo quindi espandere $y(x \pm a, t)$ in serie di Taylor:

\begin{align*}
	y(x + a,t) &= y(x,t) + \derx{y}(x,t)\, a + \frac12 \derxx{y}(x,t)\, a^2\\
	y(x - a,t) &= y(x,t) - \derx{y}(x,t)\, a + \frac12 \derxx{y}(x,t)\, a^2
\end{align*}

Sostituendo nell'equazione del moto e osservando che i termini lineari in $a$ si cancellano:
\[
	- y(x-a,t) + 2y(x,t) - y(x+a,t) = - \derxx{y}(x,t)\, a^2
\]

L'equazione del moto diventa:
\[
	\dertt{y} = \frac{T_0}{m} a^2 \derxx{y}
\]

Introduciamo ora la densità lineare di massa:
\[
	\rho_l = \frac{m}{a}
\]

Da cui:
\[
	\frac{T_0}{m} a^2 = \frac{T_0}{\rho_l}
\]

Otteniamo così la forma finale dell'equazione:
\[
	\dertt{y(x,t)} = \frac{T_0}{\rho_l} \derxx{y(x,t)}
\]

Questa è l' \textbf{equazione d'onda unidimensionale}, chiamata anche equazione di d'Alembert.

\[
	\dertt{y} = v^2 \derxx{y} \qquad
	v = \sqrt{\frac{T_0}{\rho_l}}
\]

La quantità $v$ rappresenta la velocità di propagazione delle onde lungo la corda.
Questa equazione è fondamentale perché descrive:

\begin{itemize}
	\item le onde meccaniche sulle corde
	\item le onde sonore in una dimensione
	\item la propagazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto (in forma vettoriale)
	\item le onde gravitazionali nel limite di campo debole
\end{itemize}

La soluzione generale di questa equazione è una funzione che si propaga senza deformarsi:
\[
	y(x,t) = f(x - vt) + g(x + vt)
\]

Questo rappresenta 2 onde che si muovono in direzioni opposte con velocità $v$.
\end{comment}


\section{Derivazione continua dell'equazione d'onda}
Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come, aumentando il numero di gradi di libertà, aumenti anche il numero dei modi normali.
Nel caso di due pendoli collegati da una molla avevamo due modi: il modo a pendolo e il modo a respiro.
Ora vogliamo capire che cosa accade quando portiamo il numero di gradi di libertà a valori molto grandi fino ad avvicinarci ad un sistema continuo.

Per motivarci partiamo dal modello già affrontato: masse collegate da molle.
Generalizziamo la configurazione precedente considerando non soltanto due masse collegate, ma una sequenza molto lunga di masse tutte uguali collegate fra loro da molle identiche.
Pensiamo a una "collana di perle" infilate su un elastico.

\subsection{Ipotesi fisiche fondamentali}
\begin{itemize}
	\item \textbf{Corda perfettamente flessibile}: non oppone resistenza alla curvatura, non esiste rigidità intrinseca.
	\item \textbf{Tensione uniforme}: la tensione interna è ovunque uguale a $T_0$ e non cambia durante l'oscillazione.
	\item \textbf{Oscillazioni piccole}:
	\[
		\abs{\derx{\psi}} \ll 1
	\]
	Questa condizione implica che gli angoli $\alpha$ e $\beta$ formati dall'elemento di corda con l'orizzontale siano piccoli.
	\item \textbf{Inestensibilità al primo ordine}: la lunghezza reale di un elemento $d\ell$ coincide con $dx$ al primo ordine.
	Infatti:
	\[
		d\ell = dx \sqrt{1 + \8 \derx{\psi} \9^2} \simeq dx
	\]
	Il termine di ordine secondo $\8\derx{\psi}\9^2$ è trascurabile.
	\item \textbf{Gravità trascurabile}: la tensione è molto maggiore del peso per unità di lunghezza, così la componente verticale della tensione compensa l'eventuale contributo gravitazionale.
\end{itemize}

Queste ipotesi definiscono il regime di validità dell'equazione d'onda per una corda.

\subsection*{Forza sulla massa generica}
Indichiamo con $y_i(t)$ lo spostamento verticale della massa $i$.
Le masse adiacenti esercitano forze elastiche pari alla costante elastica $T_0$ moltiplicata per l'allungamento relativo.
Nel caso iniziale la massa 1 sentiva:
\[
	F_1 = - T_0 \8 y_1 - y_0 \9 - T_0 \8 y_1 - y_2 \9
\]

$y_0$ è lo spostamento della massa alla sua sinistra e $y_2$ quello della massa a destra.

Generalizzando alla massa $i$:
\[
	F_i = - T_0 \8 y_i - y_{i-1} \9 - T_0 \8 y_i - y_{i+1} \9
\]

Raccogliendo:
\[
	F_i = - T_0 \8 - y_{i-1} + 2 y_i - y_{i+1} \9
\]

Applicando Newton:
\[
	m \dertt{y_i} = - T_0 \8 - y_{i-1} + 2 y_i - y_{i+1} \9
\]

Questa equazione è valida per quasi qualsiasi massa della catena ed è la forma discreta dell'equazione del moto.

\subsection{Passaggio alla descrizione spaziale continua}
Introduciamo la distanza costante $a$ tra una massa e la successiva.
Se la catena è molto fitta possiamo pensare che la coordinata della massa $i$ sia:
\[
	x = i a
\]

In questo modo:
\[
	y_i(t) \to y(x,t) \qquad
	y_{i-1}(t) \to y(x - a, t) \qquad
	y_{i+1}(t) \to y(x + a, t)
\]

Sostituendo:
\[
	\dertt{y(x,t)} = - \frac{T_0}{m} \8 - y(x - a, t) + 2 y(x,t) - y(x + a, t) \9
\]

Fino a qui non è stata fatta alcuna approssimazione: questa scrittura è ancora esatta per qualsiasi valore di $a$.

\subsection{Espansione di Taylor per a piccolo}
Ora usiamo l'ipotesi fondamentale del passaggio al continuo: la separazione $a$ tra le masse è molto più piccola della lunghezza d'onda delle oscillazioni che vogliamo descrivere.

Espandiamo attorno a $x$:
\[
	y(x + a,t) = y(x,t) + \derx{y}(x,t)\, a + \frac12 \derxx{y}(x,t)\, a^2
\]

\[
	y(x - a,t) = y(x,t) - \derx{y}(x,t)\, a + \frac12 \derxx{y}(x,t)\, a^2
\]

Sostituiamo nella combinazione dell'equazione discreta:
\[
	- y(x-a,t) + 2 y(x,t) - y(x+a,t)
\]

Sostituendo esplicitamente:
\begin{align*}
	- y(x-a,t) &= - y(x,t) + \derx{y}(x,t) a - \frac12 \derxx{y}(x,t) a^2 \\
	2 y(x,t) &= 2 y(x,t) \\
	- y(x+a,t) &= - y(x,t) - \derx{y}(x,t) a - \frac12 \derxx{y}(x,t) a^2
\end{align*}

Sommiamo tutto con estrema attenzione:
\[
	- y(x,t) + \derx{y}\, a - \frac12 \derxx{y}\, a^2 + 2 y(x,t) - y(x,t) - \derx{y} a - \frac12 \derxx{y}\, a^2
\]

Osserviamo:
- i termini $y(x,t)$ si cancellano completamente
- i termini lineari $\derx{y} a$ si cancellano
- rimangono solo i termini quadratici:
\[
	- \derxx{y}(x,t) a^2
\]

Dunque:
\[
	- y(x-a,t) + 2 y(x,t) - y(x+a,t) = - a^2 \derxx{y}(x,t)
\]

Sostituendo nell'equazione del moto:
\[
	\dertt{y(x,t)} = \frac{T_0}{m} a^2 \derxx{y(x,t)}
\]

\subsection{Introduzione della densità lineare}
Siccome il sistema si sta avvicinando a un continuo, introduciamo la densità lineare di massa:
\[
	\rho_l = \frac{m}{a}
\]

Da cui:
\[
	\frac{T_0}{m} a^2 = \frac{T_0}{\rho_l}
\]

L'equazione diventa:
\[
	\dertt{y(x,t)} = \frac{T_0}{\rho_l} \derxx{y(x,t)}
\]

Questa è la celeberrima \textbf{equazione d'onda unidimensionale}, o equazione di d'Alembert:
\[
	\dertt{y} = v^2 \derxx{y} \qquad
	v = \sqrt{\frac{T_0}{\rho_l}}
\]

\subsection{Significato fisico}
L'equazione mostra che la forza che agisce su un punto della corda è proporzionale alla sua \textbf{curvatura} $\derxx{\psi}$:

- maggiore curvatura $\Rightarrow$ maggiore forza di richiamo

- il moto risultante è una perturbazione che si propaga con velocità costante $v$

La soluzione generale è la somma di due onde che viaggiano in direzioni opposte:
\[
	\psi(x,t) = f(x - vt) + g(x + vt)
\]

dove $f$ e $g$ sono determinate dalle condizioni iniziali.



\section{Struttura dell'equazione d'onda}
Ora che abbiamo ottenuto l'equazione di d'Alembert per una corda vibrante, vogliamo capire in modo più profondo che cosa essa stia descrivendo.
Ricordiamo la forma generale:
\[
	\dertt{\psi(x,t)} = \frac{T_0}{\rho_l} \derxx{\psi(x,t)}
\]

Questa è una \textbf{equazione differenziale alle derivate parziali} del secondo ordine.
La nostra incognita non è più una funzione di una sola variabile, come nello studio dell'oscillatore armonico, ma una funzione di due variabili indipendenti: lo spazio $x$ e il tempo $t$.

\subsection{Significato delle derivate parziali}
In una funzione $\psi(x,t)$ le derivate parziali vengono effettuate tenendo costante una delle due variabili.
Per comprenderne il significato:
\begin{itemize}
	\item $\derx{\psi}$ è la pendenza del profilo della corda fissato un certo istante $t$
	\item $\dert{\psi}$ è la velocità di uno specifico punto della corda, fissata una certa posizione $x$
	\item $\derxx{\psi}$ misura la \textbf{curvatura} della corda nel punto $x$
	\item $\dertt{\psi}$ è l'accelerazione del punto $x$ della corda
\end{itemize}

È dunque un'equazione che collega accelerazione e curvatura.
Dal punto di vista fisico questo è esattamente ciò che ci si aspetta: quando il profilo della corda è incurvato, la tensione interna produce una forza che riporta il sistema verso la forma rettilinea.

\subsection{Proprietà dell'equazione}
Osserviamo alcune caratteristiche fondamentali:
\begin{itemize}
	\item \textbf{Equazione lineare}: compaiono solo derivate lineari della funzione incognita.
	Ne segue immediatamente il \textbf{principio di sovrapposizione}: se $\psi_1$ e $\psi_2$
	sono soluzioni, qualunque combinazione lineare $a \psi_1 + b \psi_2$ è ancora una soluzione.
	Questo sarà essenziale quando introdurremo i modi normali della corda.
	\item \textbf{Equazione omogenea}: non è presente alcun termine dipendente solo da $x$ e $t$.
	Questo significa che la corda non è soggetta a forzanti esterne durante l'evoluzione.
	\item \textbf{Equazione del secondo ordine}: compaiono derivate seconde sia rispetto allo spazio
	sia rispetto al tempo. Le condizioni iniziali e al contorno dovranno essere fornite di
	conseguenza.
\end{itemize}

\subsection{Interpretazione fisica: il ruolo della curvatura}
Riscriviamo l'equazione in forma più compatta introducendo il parametro:
\[
	v = \sqrt{\frac{T_0}{\rho_l}}
\]

Abbiamo ricavato come velocità caratteristica del mezzo.
Allora:
\[
	\dertt{\psi} = v^2 \derxx{\psi}
\]

La parte sinistra rappresenta l'accelerazione verticale del punto di corda in $x$.
La parte destra rappresenta la curvatura locale del profilo, moltiplicata per la quantità $v^2$ che ha le dimensioni di una velocità al quadrato.

Una curvatura positiva implica un'accelerazione che riporta la corda verso la posizione di equilibrio, proprio come accadrebbe per un oscillatore armonico.
Questo non è sorprendente: abbiamo visto esplicitamente che la corda continua può essere pensata come il limite di un sistema di infiniti oscillatori armonici accoppiati.
L'equazione d'onda è quindi la loro sintesi.

\subsection{Analisi dimensionale}
Per comprendere meglio il significato del parametro $v$, osserviamo le sue dimensioni:
\[
	[T_0] = \text{forza} = \text{kg m s}^{-2} \qquad
	[\rho_l] = \text{kg m}^{-1}
\]

quindi:
\[
	\frac{T_0}{\rho_l} = \frac{\text{kg m s}^{-2}}{\text{kg m}^{-1}} = \text{m}^2 \text{s}^{-2}
\]

ovvero:
\[
	\sqrt{\frac{T_0}{\rho_l}} = \text{velocità}
\]

Questo conferma che $v$ rappresenta la velocità con cui una perturbazione si propaga lungo la corda.
Si tratta dunque della \textbf{velocità di propagazione dell'onda meccanica} in quel mezzo.

\subsection{Spazio e tempo non sono indipendenti nella soluzione}
L'equazione d'onda impone un vincolo molto forte sulla forma delle soluzioni: non è possibile combinare $x$ e $t$ in modo arbitrario.
Affinché la relazione
\[
	\dertt{\psi} = v^2 \derxx{\psi}
\]

sia soddisfatta, la funzione $\psi$ deve dipendere da $x$ e $t$ attraverso combinazioni del tipo:
\[
	x - v t \qquad x + v t
\]

Lo vedremo in modo rigoroso quando cercheremo la soluzione generale.
Per ora è importante intuire che la soluzione ha la forma di una perturbazione che si \textbf{sposta rigidamente} lungo l'asse $x$, con velocità costante $v$.

\subsection{Condizioni iniziali e condizioni al contorno}
Poiché l'equazione è del secondo ordine in entrambe le variabili, occorrono:
\begin{itemize}
	\item \textbf{due condizioni iniziali} per ogni punto dello spazio:
	\[
		\psi(x,0) \qquad \dot\psi(x,0)
	\]
	che specificano la forma iniziale della corda e la velocità iniziale di ogni suo punto
	\item \textbf{due condizioni al contorno} per determinare completamente la soluzione nel caso
	di una corda di lunghezza finita
\end{itemize}

Il caso più importante, e quello che studieremo, è quello della corda con estremi fissi:
\[
	\psi(0,t) = 0 \qquad \psi(L,t) = 0
\]

che darà luogo all'emergere di modi normali perfettamente analogo al caso discreto.

\subsection{La costante v come legame con i modi normali}
Il parametro $v^2$ determina il legame tra accelerazione e curvatura.
Nel caso discreto avevamo:
\[
	m \dertt{x_i} = - k \8 x_i - x_{i-1} \9 - k \8 x_i - x_{i+1} \9
\]

Nel limite continuo, è divenuto proprio l'equazione d'onda.
Ci aspettiamo quindi che le soluzioni siano combinazioni di modi normali, ciascuno con la propria frequenza, e che tali modi costituiscano una base completa delle soluzioni.



\section{La velocità di propagazione e il legame con i modi normali}
Riprendiamo il ragionamento interrotto: abbiamo osservato che il coefficiente che lega $\dertt{\psi}$ a $\derxx{\psi}$, cioè il rapporto $\frac{T_0}{\rho_l}$, possiede le dimensioni di una velocità al quadrato.
Definendo:
\[
	v = \sqrt{\frac{T_0}{\rho_l}}
\]

Otteniamo l'equazione d'onda nella forma compatta:
\[
	\dertt{\psi} = v^2 \derxx{\psi}
\]

Ora vogliamo capire che ruolo giochi questa quantità $v$.
Per farlo torniamo per un attimo al caso degli oscillatori armonici accoppiati.

\subsection{Dalla catena discreta al continuo: interpretazione unitaria}
Nel caso discreto, per una catena di masse collegate da molle, avevamo equazioni del moto del tipo:
\[
	m \dertt{y_i} = - k \8 2 y_i - y_{i-1} - y_{i+1} \9
\]

Abbiamo visto che le soluzioni generali erano combinazioni di modi normali, ciascuno con una propria frequenza caratteristica, determinata dalla struttura della catena.
Ogni modo era un'oscillazione collettiva in cui tutte le masse oscillavano alla stessa frequenza, pur muovendosi con ampiezze relative diverse.

Nel limite in cui rendiamo la distanza tra le masse sempre più piccola e il numero delle masse tende all'infinito, questo insieme di modi discreti diventa un insieme continuo di modi.
Il passaggio:
\[
	y_{i \pm 1} \to y(x \pm a) \qquad
	a \to 0
\]

Ci ha portati, attraverso l'espansione di Taylor, all'equazione d'onda.
L'operatore discreto
\[
	y_{i+1} - 2 y_i + y_{i-1}
\]

si è trasformato nella curvatura $\derxx{\psi}$.

Questo ci dice che la struttura profonda dell'equazione d'onda è la stessa del sistema di oscillatori accoppiati: la corda continua non è altro che un numero infinito di oscillatori armonici accoppiati infinitamente vicini.

\subsection{Trama fisica dell'equazione d'onda}
Adesso possiamo interpretare in modo intuitivo la forma dell'equazione:
\[
	\dertt{\psi} = v^2 \derxx{\psi}
\]

La derivata seconda spaziale misura quanto la corda è incurvata.
Se la corda è localmente curva, allora la tensione produce una forza di richiamo diretta verso la posizione rettilinea.
L'accelerazione risultante è esattamente $\dertt{\psi}$.

Il fatto che la costante di proporzionalità sia $v^2$ indica che la risposta dinamica della corda dipende dalle sue proprietà:
\begin{itemize}
	\item la tensione $T_0$ stabilisce quanto la corda ''tira'' per tornare in equilibrio
	\item la densità lineare $\rho_l$ stabilisce quanta massa viene accelerata
\end{itemize}
Una tensione maggiore produce onde più veloci, una densità lineare maggiore le rallenta.

\subsection{La natura propagativa delle soluzioni}
Una conseguenza straordinaria dell'equazione d'onda è che spazio e tempo non possono entrare nella soluzione in modo arbitrario.
La funzione $\psi$ deve dipendere da $x$ e $t$ attraverso combinazioni del tipo:
\[
	x - v t \qquad x + v t
\]

e questo non è un caso: sono proprio questi due argomenti a rappresentare onde che si propagano senza deformarsi verso destra e verso sinistra.

La forma più generale delle soluzioni è infatti:
\[
	\psi(x,t) = f(x - v t) + g(x + v t)
\]

dove $f$ e $g$ sono funzioni arbitrarie determinate dalla configurazione iniziale della corda.

Questo risultato può sembrare sorprendente, ma segue direttamente dal fatto che:
\[
	\dertt{\psi} = v^2 \derxx{\psi}
\]

impone che ogni ''pezzo'' della perturbazione si muova con velocità costante $v$, esattamente come se l'intero profilo della corda fosse trascinato rigidamente lungo l'asse $x$.

\subsection{Il ruolo delle condizioni iniziali e delle condizioni al contorno}
A differenza dello oscillatore armonico, qui abbiamo una funzione di due variabili.
Per determinare completamente la soluzione servono:
\begin{itemize}
	\item \textbf{due condizioni iniziali}
	\[
		\psi(x,0) \qquad \dert{\psi}(x,0)
	\]
	che specificano forma e velocità della corda all'istante iniziale
	\item \textbf{due condizioni al contorno}, necessarie quando la corda ha lunghezza finita
\end{itemize}

Il caso più importante, e fisicamente più rilevante, è quello degli estremi fissi:
\[
	\psi(0,t) = 0 \qquad \psi(L,t) = 0
\]

Questo vincolo modifica radicalmente l'insieme delle soluzioni possibili: solo alcune funzioni $f$ e $g$ saranno ammissibili, e vedremo che ciò conduce alla quantizzazione dei modi normali, analogamente a quella vista per due masse accoppiate, ma con un numero infinito di modi.

\subsection{Verso la ricerca dei modi normali per la corda}
Ora che abbiamo capito la struttura matematica dell'equazione d'onda e la natura delle sue soluzioni propagative, possiamo affrontare il passo successivo: trovare le oscillazioni proprie della corda, cioè i \textbf{modi normali}.

Come nel caso degli oscillatori accoppiati, ogni modo normale avrà una frequenza propria e rappresenterà un'oscillazione ''pura''.
La soluzione generale sarà la somma di tutti questi modi.

Nella prossima sezione introdurremo il metodo della separazione delle variabili, che ci permetterà di identificare esplicitamente tali modi.



\subsection{Condizioni iniziali e completezza dei modi normali}
Abbiamo ottenuto che i modi normali della corda lunga $l$ vincolata agli estremi sono descritti da:
\[
	\psi_n(x,t) = A_n \sin(k_n x) \cos(\omega_n t + \varphi_n)
\]

dove:
\[
	k_n = \frac{n \pi}{l} \qquad
	\omega_n = v k_n = v \frac{n \pi}{l}
\]
e $v = \sqrt{\frac{T_0}{\rho_l}}$ è la velocità delle onde sulla corda.

A questo punto dobbiamo capire come descrivere una qualunque oscillazione della corda che non sia un singolo modo normale.
Nel caso con due gradi di libertà avevamo:
\[
	x_1(t) = c_a u_a(t) + c_b u_b(t)
\]
dove $u_a$ e $u_b$ erano i due modi normali.

Ora, nel continuo, il discorso si generalizza a:
\[
	y(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(k_n x) \cos(\omega_n t + \varphi_n)
\]

Questa è la soluzione generale della corda vibrante vincolata agli estremi.
È del tutto analoga al caso discreto, ma ora la somma contiene infiniti modi normali.

\subsection{Significato fisico delle componenti spaziale e temporale}
Per un singolo modo normale:
\[
	\psi_n(x,t) = Y_n(x) T_n(t)
\]

dove:
\[
	Y_n(x) = \sin(k_n x) \qquad
	T_n(t) = \cos(\omega_n t + \varphi_n)
\]

Osserviamo due aspetti fondamentali:
\begin{itemize}
	\item In ogni modo normale \textbf{tutti i punti della corda oscillano con la stessa frequenza} $\omega_n$.
	\item Le ampiezze spaziali cambiano lungo la corda secondo la forma $Y_n(x)$, che contiene nodi e ventri.
\end{itemize}

Questo è esattamente ciò che avevamo osservato nel caso discreto dei pendoli accoppiati: ogni modo normale è un oscillatore armonico indipendente.

\subsection{Condizioni iniziali per la corda continua}
Quando avevamo un solo oscillatore armonico, servivano:
\[
	x(0) \qquad \dot x(0)
\]

Nel caso con due gradi di libertà servivano:
\[
	x_1(0) \quad x_2(0) \qquad
	\dot x_1(0) \quad \dot x_2(0)
\]

Ora, nel caso continuo, abbiamo un numero infinito di punti, ognuno dei quali è un grado di libertà.
Quindi dobbiamo specificare due funzioni continue:
\[
	y(x,0) = f(x)
\]
\[
	\dot y(x,0) = g(x)
\]

Queste due funzioni rappresentano:
\begin{itemize}
	\item la forma iniziale della corda
	\item la distribuzione iniziale delle velocità lungo la corda
\end{itemize}

\subsection{Ruolo dei modi normali nella ricostruzione della soluzione}
Poiché i modi normali $\sin(k_n x)$ formano una base completa per le funzioni che soddisfano le condizioni al contorno $y(0,t)=0$ e $y(l,t)=0$, possiamo espandere la condizione iniziale come:
\[
	f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin(k_n x)
\]

e analogamente:
\[
	g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(k_n x)
\]

I coefficienti $a_n$ e $b_n$ si determinano mediante le usuali formule di ortogonalità dei seni:
\[
	a_n = \frac{2}{l} \int_0^l f(x) \sin(k_n x) \, dx
\]
\[
	b_n = \frac{2}{l} \int_0^l g(x) \sin(k_n x) \, dx
\]

Una volta noti i coefficienti, la soluzione generale si costruisce automaticamente:
\[
	y(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \8 a_n \cos(\omega_n t) + \frac{b_n}{\omega_n} \sin(\omega_n t) \9 \sin(k_n x)
\]

Questa è la forma completa della soluzione dell'equazione di d'Alembert per una corda vincolata agli estremi.
È la controparte continua e infinitamente estesa di ciò che avevamo già visto con due oscillatori accoppiati.

\subsection{Interpretazione finale}
Abbiamo quindi stabilito alcuni punti centrali:
\begin{itemize}
	\item una corda continua ha infiniti gradi di libertà
	\item esistono infiniti modi normali, ciascuno con la propria frequenza $\omega_n$
	\item ogni modo è un oscillatore armonico perfettamente indipendente dagli altri
	\item qualsiasi moto della corda è una combinazione lineare di questi modi
	\item le condizioni iniziali determinano i coefficienti della combinazione lineare
\end{itemize}

Abbiamo quindi completato il passaggio:
\[
	\text{sistemi discreti a pochi gradi di libertà}\quad
	\longrightarrow \quad
	\text{sistemi continui con infiniti modi}
\]

e abbiamo visto come l'equazione di d'Alembert racchiuda al suo interno l'intera dinamica della corda vibrante.



\section{Onde progressive e significato fisico della velocità v}
Consideriamo il generico modo normale della corda vincolata agli estremi:
\[
	\psi_n(x,t) = A_n \sin(k_n x) \cos(\omega_n t)
\]
con
\[
	k_n = \frac{n \pi}{l} \qquad \omega_n = v k_n \qquad v = \sqrt{\frac{T_0}{\rho_l}}
\]

Scriviamo il prodotto seno per coseno tramite le identità ricavate con le formule di Eulero.
Usiamo:
\[
	\sin\alpha = \frac{e^{i\alpha} - e^{-i\alpha}}{2i} \qquad
	\cos\beta = \frac{e^{i\beta} + e^{-i\beta}}{2}
\]

Allora
\[
	\sin(k_n x)\cos(\omega_n t) = \frac{1}{4i} \8 e^{i(k_n x + \omega_n t)} - e^{-i(k_n x + \omega_n t)} + e^{i(k_n x - \omega_n t)} - e^{-i(k_n x - \omega_n t)} \9
\]

e riconvertendo in seni:
\[
	\sin(k_n x)\cos(\omega_n t) = \frac12 \8 \sin(k_n x + \omega_n t) + \sin(k_n x - \omega_n t) \9
\]

Otteniamo quindi la decomposizione fondamentale:
\[
	\psi_n(x,t) = \frac{A_n}{2} \sin(k_n x + \omega_n t) + \frac{A_n}{2} \sin(k_n x - \omega_n t)
\]

Le due funzioni sono onde della forma:
\[
	f(x,t) = \sin(k_n x \pm \omega_n t)
\]
Scriviamo $\omega_n = v k_n$:
\[
	\sin(k_n x \pm v k_n t) = \sin\!\left[k_n(x \pm vt)\right]
\]

Introduciamo una variabile di fase:
\[
	\phi_{\pm}(x,t)=k_n(x \pm vt)
\]

Una funzione $f(x \pm vt)$ è una traslazione rigida nel tempo.
Se definiamo:
\[
	g(x) = \sin(k_n x)
\]

allora:
\[
	g(x - vt) \ \text{si sposta verso destra con velocità}\ v
\]
\[
	g(x + vt) \ \text{si sposta verso sinistra con velocità}\ v
\]

Dunque ogni modo normale è somma di due onde progressive uguali che viaggiano in direzioni opposte:
\[
	\psi_n(x,t) = \frac{A_n}{2} g(x - vt) + \frac{A_n}{2} g(x + vt)
\]

La velocità $v$ non è la velocità dei punti della corda, bensì la velocità con cui si trasmette la perturbazione.

L'equazione d'onda garantisce che:
\[
	\text{se } y(x,t)=f(x - vt) \quad \text{allora} \quad \dertt y = v^2 \derxx y
\]
e lo stesso vale per $g(x + vt)$.

Questo mostra che:
\begin{enumerate}
	\item I modi normali sono onde stazionarie formate da 2 onde progressive opposte
	\item Le onde progressive viaggiano con velocità $v = \sqrt{T_0 \rho_l^{-1}}$
	\item I punti della corda oscillano verticalmente, ma l'informazione si trasferisce orizzontalmente con velocità $v$
\end{enumerate}

Per una corda generica, la soluzione completa:
\[
	y(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(k_n x) \cos(\omega_n t + \varphi_n)
\]

può essere vista come somma di onde progressive:
\[
	y(x,t) = F(x - vt) + G(x + vt)
\]

dove $F$ e $G$ derivano dalle condizioni iniziali.



\section{Soluzione generale dell'equazione d'onda e metodo di d'Alembert}
Nel caso della corda vincolata agli estremi abbiamo visto che ogni modo normale può essere
riscritto come somma di due onde che si muovono in direzioni opposte.
Per il modo $n$:
\[
	\psi_n(x,t) = A_n \sin(k_n x) \cos(\omega_n t + \varphi_n)
\]
si ottiene
\[
	\psi_n(x,t) = \frac{A_n}{2} \sin(k_n x + \omega_n t + \varphi_n) + \frac{A_n}{2} \sin(k_n x - \omega_n t + \varphi_n)
\]

Usando $\omega_n = v k_n$:
\[
	\sin(k_n x \pm \omega_n t + \varphi_n) = \sin\!\left[k_n(x \pm vt) + \varphi_n\right]
\]

Si vede quindi che ogni modo normale è somma di due onde della forma
\[
	f(x - vt) \qquad g(x + vt)
\]

La soluzione generale della corda vincolata è
\[
	\psi(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(k_n x)\cos(\omega_n t + \varphi_n)
\]

e poiché ogni termine è somma di un'onda progressiva e una regressiva si può scrivere
\[
	\psi(x,t) = F(x - vt) + G(x + vt)
\]

dove $F$ e $G$ dipendono dalle condizioni iniziali.

\subsection{Metodo di d'Alembert}
Consideriamo ora l'equazione d'onda nella forma
\[
	\derxx{\psi} = \frac{1}{v^2}\dertt{\psi}
\]

Definiamo le nuove variabili:
\[
	\xi = x - vt \qquad \eta = x + vt
\]

La funzione $\psi(x,t)$ diventa $\psi(\xi,\eta)$.

Calcoliamo le derivate usando la regola della funzione composta.

\paragraph{Derivata prima in $x$}
\[
	\frac{\partial\psi}{\partial x} = \frac{\partial\psi}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial\psi}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x} = \psi_\xi + \psi_\eta
\]

\paragraph{Derivata seconda in $x$}
Deriviamo di nuovo:
\[
	\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} = \psi_{\xi\xi} + 2\psi_{\xi\eta} + \psi_{\eta\eta}
\]

\paragraph{Derivata prima in $t$}
\[
	\frac{\partial\psi}{\partial t} = \psi_\xi \frac{\partial \xi}{\partial t} + \psi_\eta \frac{\partial \eta}{\partial t} = - v \psi_\xi + v \psi_\eta
\]

\paragraph{Derivata seconda in $t$}
\[
	\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} = v^2\psi_{\xi\xi} - 2v^2\psi_{\xi\eta} + v^2\psi_{\eta\eta}
\]

Ora imponiamo l'equazione d'onda:
\[
	\psi_{\xi\xi} + 2\psi_{\xi\eta} + \psi_{\eta\eta} = \psi_{\xi\xi} - 2\psi_{\xi\eta} + \psi_{\eta\eta}
\]

I primi e gli ultimi termini si cancellano. Rimane:
\[
	4\psi_{\xi\eta} = 0
	\qquad\Rightarrow\qquad
	\psi_{\xi\eta} = 0
\]

Integrare rispetto a $\xi$ implica che $\psi_\eta$ non dipende da $\xi$:
\[
	\psi_\eta(\xi,\eta) = f(\eta)
\]

Integrare rispetto a $\eta$ dà:
\[
	\psi(\xi,\eta) = F(\eta) + G(\xi)
\]

Tornando alle variabili originali:
\[
	\psi(x,t) = F(x + vt) + G(x - vt)
\]

Questa è la soluzione più generale dell'equazione d'onda in una dimensione.

\subsection{Proprietà delle soluzioni}
Una funzione del tipo $\psi(x,t)=F(x - vt)$ rappresenta un'onda che si sposta verso destra.
Una funzione del tipo $\psi(x,t)=G(x + vt)$ rappresenta un'onda che si sposta verso sinistra.

La forma dell'onda non cambia durante la propagazione: viene traslata con velocità $v$.

Il vincolo ottenuto nell'ipotesi di derivata spaziale piccola
\[
	\left|\frac{\partial\psi}{\partial x}\right| \ll 1
\]
garantisce che la corda rimanga tesa e che il modello sia valido.

\subsection{Onde armoniche}
Consideriamo ora una singola onda armonica:
\[
	\psi(x,t) = A \sin(kx - \omega t + \varphi)
\]

I parametri soddisfano:
\[
	k = \frac{2\pi}{\lambda} \qquad
	\omega = 2\pi\nu \qquad
	\omega = v k
\]

La lunghezza d'onda è la distanza tra due massimi successivi.
Il periodo è il tempo tra due oscillazioni successive di un punto fissato.
La velocità dell'onda vale:
\[
	v = \frac{\omega}{k} = \lambda \nu
\]

A parità di ampiezza, l'energia trasportata è proporzionale ad $A^2$.

\subsection{Interpretazione geometrica}
Per un tempo fissato $t_0$ la dipendenza spaziale è:
\[
	\psi(x,t_0) = A \sin(kx + \text{costante})
\]
che è un'onda sinusoidale nello spazio.

Per una posizione fissata $x_0$ la dipendenza temporale è:
\[
	\psi(x_0,t) = A \sin(\omega t + \text{costante})
\]
che è un'oscillazione armonica nel tempo.

Il movimento dei punti della corda è verticale.
La propagazione dell'onda è orizzontale con velocità $v$.
La perturbazione trasporta energia e quantità di moto.



\section{Potenza e trasporto di energia nelle onde}
Una soluzione dell'equazione di d'Alembert che rappresenti un'onda progressiva ha la forma
\[
	\psi(x,t) = f(x - vt)
\]

La derivata temporale è
\[
	\dert{\psi} = \frac{d f}{d(x - vt)} \dert{x - vt} = - v f'
\]

La derivata spaziale è
\[
	\derx{\psi} = f'
\]

Da queste due espressioni segue
\[
	\dert{\psi} = - v \derx{\psi}
\]

che vale per un'onda progressiva.
Per un'onda regressiva si ottiene invece
\[
	\dert{\psi} = + v \derx{\psi}
\]

Consideriamo ora il trasporto di energia lungo la corda.
La tensione ha una componente verticale pari a
\[
	T_\psi = - T_0 \frac{\partial \psi}{\partial x}
\]

Per un piccolo spostamento verticale
\[
	d\psi = \dert{\psi} \, dt
\]

Il lavoro elementare è
\[
	dL = T_\psi\, d\psi = - T_0 \derx{\psi} \dert{\psi}\, dt
\]

La potenza istantanea è
\[
	P(x,t) = \frac{dL}{dt} = - T_0 \derx{\psi} \dert{\psi}
\]

Per un'onda progressiva usiamo $\dert{\psi}=- v \derx{\psi}$ e otteniamo
\[
	P = + T_0 v \8 \derx{\psi} \9^2
\]

Per un'onda regressiva, usando $\dert{\psi}=+ v \derx{\psi}$ si ottiene
\[
	P = - T_0 v \8 \derx{\psi} \9^2
\]

Il segno distingue la direzione del trasporto.
Se $\psi(x,t)=f(x - vt)$ allora anche $P(x,t)$ è funzione di $x - vt$:
\[
	P(x,t)=P(x - vt)
\]

Dunque anche la potenza si propaga come un'onda con velocità $v$.
Consideriamo ora un'onda armonica progressiva
\[
	\psi(x,t)=A\sin(kx - \omega t)
\]

Allora
\[
	\derx{\psi} = A k \cos(kx - \omega t) \qquad
	\dert{\psi} = - A \omega \cos(kx - \omega t)
\]

La potenza istantanea diventa
\[
	P(x,t) = T_0 A^2 k \omega \cos^2(kx - \omega t)
\]

La funzione $\cos^2$ ha periodo $\pi$. La potenza media su un periodo si calcola come
\[
	\overline{P} = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi T_0 A^2 k \omega \cos^2\phi \, d\phi
\]

Usando
\[
	\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \cos^2\phi\, d\phi = \frac12
\]

Segue
\[
	\overline{P} = \frac12 T_0 A^2 k \omega
\]

Poiché $\omega = vk$ otteniamo la forma equivalente
\[
	\overline{P} = \frac12 T_0 v k^2 A^2
\]
che mostra in modo chiaro la dipendenza quadratica dell'energia trasportata dall'ampiezza dell'onda.

Per interpretare la struttura energetica confrontiamo la fase $\phi = kx - \omega t$ dell'onda con l'espressione di $\cos^2\phi$ nella potenza.
Quando $\psi$ è massima o minima si ha $\cos\phi=0$ e dunque $P=0$.
Quando $\psi$ passa per lo zero si ha $\cos\phi=\pm 1$ e dunque
\[
	P_{\max} = T_0 A^2 k \omega
\]

La potenza è massima dove l'elemento di corda è nel punto di massimo stiramento locale, cioè dove $\derx{\psi}$ è massima.
In tali punti anche $\dert{\psi}$ è massima per un'onda armonica, quindi l'elemento possiede contemporaneamente massima energia cinetica e massima energia elastica.

La potenza propagata è quindi modulata da una funzione armonica e si muove con velocità $v$.
Graficamente la forma di $\psi(x,t)$ e quella di $P(x,t)$ hanno lo stesso periodo spaziale ma non gli stessi zeri:
\[
	\psi = 0 \quad \Rightarrow \quad P = P_{\max}
\]

\[
	\psi = \pm A \quad \Rightarrow \quad P = 0
\]

Questo descrive perfettamente il trasferimento di energia associato all'onda armonica sulla corda.




\section{Dissipazione radiativa e oscillatore accoppiato alla corda}
Consideriamo una massa $m$ collegata ad una molla di costante $k$ e, nello stesso punto, ad una corda tesa di tensione $T_0$.
Indichiamo con $y(t)$ lo spostamento verticale della massa e con $\psi(x,t)$ lo spostamento della corda, con $\psi(0,t)=y(t)$.

L'equazione dell'oscillatore isolato sarebbe
\[
	m \dertt y = - k y
\]

La presenza della corda introduce nuove forze dovute alla tensione $T_0$.
Nel punto $x=0$ la corda esercita due contributi orizzontali proiettati verticalmente:
\[
	F_1 = T_0 \frac{\partial\psi}{\partial x}\Big|_{x=0^+} \qquad
	F_2 = - T_0 \frac{\partial\psi}{\partial x}\Big|_{x=0^-}
\]

Per un'onda che si propaga verso $+x$ (onda progressiva) la relazione d'Alembert semplificata è
\[
	\dert\psi = - v \derx\psi
\]

quindi
\[
	\derx\psi = - \frac{1}{v} \dert\psi
\]

Per un'onda regressiva vale invece
\[
	\dert\psi = + v \derx\psi
\]

Poiché il moto dell'oscillatore genera a destra onde progressive e a sinistra onde regressive, si può usare
\[
	\derx\psi\Big|_{x=0^\pm} = - \frac{1}{v}\dert\psi(0,t)
\]

Poiché $\psi(0,t)=y(t)$:
\[
	\dert\psi(0,t) = \dert y(t)
\]

La somma delle due forze della corda diventa
\[
	F_1 + F_2 = - T_0 \derx\psi(0^+,t) - T_0 \derx\psi(0^-,t) = - 2 T_0 \Big( - \frac{1}{v} \dert y \Big)
\]
cioè
\[
	F_1 + F_2 = - \frac{2T_0}{v} \dert y
\]

L'equazione del moto è quindi
\[
	m \dertt y = - k y - \frac{2T_0}{v} \dert y
\]

che riscritta nella forma usuale diventa
\[
	\dertt y + 2\gamma \dert y + \omega_0^2 y = 0
\]

con
\[
	\gamma = \frac{T_0}{m v} \qquad
	\omega_0^2 = \frac{k}{m}
\]

Questa è l'equazione di un oscillatore armonico smorzato.
Lo smorzamento non è dovuto ad attrito ma alla perdita di energia trasportata via dalla corda sotto forma di onde progressive e regressive.
È una dissipazione radiativa.

La soluzione è
\[
	y(t) = A e^{-\gamma t}\cos(\omega t + \varphi) \qquad
	\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}
\]

La massa quindi oscilla con ampiezza che decade esponenzialmente.
Ogni oscillazione genera sulla corda un'onda che si allontana con velocità $v$.
Dopo un tempo $t$ il fronte dell'onda si trova a
\[
	x = vt
\]

La forma dell'onda sulla corda è data da
\[
	\psi(x,t) = y(t - x/v)
\]

per $x>0$ e da
\[
	\psi(x,t) = y(t + x/v)
\]
per $x<0$.

L'inviluppo della perturbazione lungo la corda è
\[
	\abs{\psi(x,t)} = A e^{-\gamma (t - x/v)}
\]
per $t > x/v$.

La parte iniziale dell'onda (generata quando l'ampiezza era maggiore) si trova più lontano, mentre la parte più vicina alla massa è legata all'ampiezza attuale $A e^{-\gamma t}$.
La corda mostra quindi una forma modulata da un inviluppo esponenziale che si propaga rigidamente con velocità $v$.
Se si applica una forzante al punto $x=0$, ad esempio
\[
	y_{\text{forz}}(t) = B\cos(\Omega t)
\]

L'oscillatore produce onde sinusoidali sulla corda di frequenza $\Omega$ e ampiezza determinata dal bilancio tra energia fornita dalla forzante ed energia radiata lungo la corda.
Dopo il transiente, la corda trasporta energia costante in entrambe le direzioni con potenza media
\[
	\overline{P} = \frac12 T_0 A^2 k \Omega
\]
per una componente armonica di numero d'onda $k$.

Questo modello meccanico mostra che la radiazione ondosa agisce come uno smorzamento viscoso e permette il trasferimento di energia lungo la corda.
Il fenomeno è analogo alla dissipazione di energia acustica per un altoparlante o alla radiazione elettromagnetica emessa da un dipolo oscillante.



\section{Onde acustiche nei fluidi}
Passiamo da onde trasversali in un mezzo unidimensionale alle onde longitudinali in un fluido tridimensionale.
Un fluido non ha forma propria ed è caratterizzato dall'incapacità di sostenere sforzi di taglio.
La grandezza fondamentale per descriverlo è la densità
\[
	\rho = \frac{M}{V}
\]
dove $M$ è la massa contenuta nel volume $V$.

Un'altra grandezza centrale è la pressione.
Per una superficie $S$, se su di essa agisce una forza totale $F_\perp$ perpendicolare alla superficie, la pressione è
\[
	P = \frac{F_\perp}{S}
\]

Microscopicamente $F_\perp$ deriva dagli urti delle molecole del fluido sulle pareti.
Il contributo della $i$-esima particella è
\[
	F_{i\perp} = \vec F_i \cdot \hat n
\]
e la pressione totale è
\[
	P = \frac{1}{S}\sum_i F_{i\perp}
\]

L'unità di misura è il Pascal, che vale
\[
	\si{\Pa} = \si{\N\per\m\squared}
\]

Consideriamo ora la pressione atmosferica.
La colonna d'aria sopra una superficie $S$ produce una forza peso totale
\[
	F = \int_0^H g(z)\rho(z) S \, dz
\]
dove $\rho(z)$ diminuisce con l'altezza.

La pressione atmosferica è quindi
\[
	P = \int_0^H g(z)\rho(z)\, dz
\]
e al livello del mare vale circa

\[
	P_{\text{atm}} \approx 10^5 \ \si{\Pa}
\]

Per una superficie di area $A$, la forza esercitata dall'atmosfera è
\[
	F = P_{\text{atm}} A
\]
e per una mano con $A = 10^{-2} \ \text{m}^2$ si ottiene
\[
	F = 10^3 \ \si{\N}
\]
ossia l'equivalente del peso di circa $100$ kg.
Non percepiamo questa forza perché il nostro corpo contiene fluido interno alla stessa pressione: il principio di Pascal richiede
\[
	P_{\text{int}} = P_{\text{est}}
\]

Il principio di Pascal afferma che in un fluido incomprimibile e in equilibrio statico la pressione è uniforme.
In un sistema idraulico, applicando una forza $F'$ su un pistone di area $S'$ e ottenendo una forza $F$ su un pistone di area $S$, si ha
\[
	\frac{F'}{S'} = \frac{F}{S}
\]
da cui
\[
	F = F' \frac{S}{S'}
\]
che permette la moltiplicazione delle forze.

Passiamo ora alla generazione delle onde acustiche.
Un mezzo fluido può essere compresso: agendo su uno strato del fluido, si produce una variazione locale di densità $\rho$ e di pressione $P$.
Lo strato successivo viene spinto da quello precedente e la perturbazione si propaga.
Se lo spostamento delle particelle è lungo la stessa direzione di propagazione dell'onda, la perturbazione è longitudinale.

Se consideriamo un pistone che comprime un gas, il primo strato viene spostato e compresso:
\[
	\rho \to \rho + \Delta\rho \qquad
	P \to P + \Delta P
\]

Lo strato successivo viene messo in moto dalla forza trasmessa dal primo e la perturbazione procede.
Il moto locale delle particelle ha accelerazione dovuta alla differenza di pressione tra strati adiacenti:
\[
	\rho \, \dert{u} = - \derx{P}
\]
dove $u(x,t)$ è la velocità locale del fluido.

La continuità di massa impone che, se il fluido si comprime in una regione, la densità varia secondo
\[
	\dert{\rho} = - \rho_0 \derx{u}
\]
dove $\rho_0$ è la densità di equilibrio.

Le variazioni di pressione e densità sono legate dalla risposta elastica del fluido.
Per piccole variazioni si assume una relazione lineare
\[
	\Delta P = B \frac{\Delta\rho}{\rho_0}
\]
dove $B$ è il modulo di comprimibilità del mezzo.

Combinando le tre relazioni:
\[
	\rho_0 \dert u = - \derx{P} \qquad
	\dert{\rho} = - \rho_0 \derx{u} \qquad
	\Delta P = B \frac{\Delta\rho}{\rho_0}
\]

si ottiene l'equazione d'onda per la pressione (o per la densità):
\[
	\derxx{P} = \frac{1}{v^2}\dertt{P} \qquad
	v = \sqrt{\frac{B}{\rho_0}}
\]

Questa è l'equazione che descrive le onde sonore.
La perturbazione longitudinale di densità e pressione si propaga con velocità
\[
	v = \sqrt{\frac{B}{\rho_0}}
\]
che dipende dal mezzo: i liquidi hanno grande $B$ e quindi velocità acustica maggiore dei gas.

Le onde acustiche sono quindi oscillazioni longitudinali di pressione e densità, governate da una equazione d'onda formalmente identica a quella ottenuta per la corda vibrante, ma con grandezze fisiche diverse.



\section{Onde acustiche: densità, pressione e spostamento}
Consideriamo un fluido contenuto in un tubo di sezione costante $S$.
Ogni grandezza dipenderà da $x$ e $t$.
Lo spostamento delle particelle rispetto alla posizione di equilibrio è $\psi(x,t)$ ed è parallelo alla direzione di propagazione.
Assumiamo
\[
	\left| \derx{\psi} \right| \ll 1
\]
in modo che le deformazioni locali siano piccole.

Un volumetto iniziale del fluido compreso tra $x$ e $x + dx$ ha volume
\[
	dV_0 = S\, dx
\]

Dopo una perturbazione, la sua faccia sinistra si sposta di $\psi(x,t)$ e la faccia destra di $\psi(x+dx,t)$.
Il nuovo volume è
\[
	dV = S \8 \psi(x+dx,t) + dx - \psi(x,t) \9
\]

La variazione di volume è
\[
	\Delta V = dV - dV_0 = S \8 \psi(x+dx,t) - \psi(x,t) \9
\]

Dividendo e moltiplicando per $dx$:
\[
	\Delta V = S\, dx \frac{\psi(x+dx,t) - \psi(x,t)}{dx}
\]
che nel limite $dx\to 0$ diventa
\[
	\Delta V = dV_0 \derx{\psi}
\]

Dunque il volume finale è
\[
	dV = dV_0 \8 1 + \derx{\psi} \9
\]

La massa contenuta nel volumetto resta costante.
La densità iniziale è
\[
	\rho_0 = \frac{dm}{dV_0}
\]

la densità dopo la perturbazione è
\[
	\rho = \frac{dm}{dV} = \frac{dm}{dV_0 \8 1 + \derx{\psi} \9}
\]

Sviluppando al primo ordine:
\[
	\rho \simeq \rho_0 \8 1 - \derx{\psi} \9
\]

La variazione di densità è quindi
\[
	\Delta\rho = \rho - \rho_0 = - \rho_0 \derx{\psi}
\]

Passiamo ora alle forze dovute alla pressione.
Il volumetto è soggetto alla pressione sulla faccia sinistra $P(x,t)$ e sulla faccia destra $P(x+dx,t)$.
Le forze sulle due facce sono
\[
	F_A = P(x,t) S \qquad
	F_B = - P(x+dx,t) S
\]

La forza risultante è
\[
	F = F_A + F_B = S \8 P(x,t) - P(x+dx,t) \9
\]

Nel limite differenziale
\[
	F = - S\, dx\, \derx{P}
\]

La massa del volumetto è
\[
	dm = \rho_0 S\, dx
\]

La sua accelerazione è
\[
	\dertt{\psi}(x,t)
\]

Applicando la seconda legge di Newton:
\[
	\rho_0 S\, dx\, \dertt{\psi} = - S\, dx\, \derx{P}
\]

Eliminando $S\, dx$ otteniamo la relazione fondamentale:
\[
	\rho_0 \dertt{\psi} = - \derx{P}
\]

Abbiamo quindi la prima equazione che lega lo spostamento $\psi$ alla pressione $P$.
Per ottenere l'equazione d'onda sarà necessario trovare una relazione che esprima $P$ in funzione di $\psi$ o di $\rho$.
Poiché
\[
	\Delta\rho = - \rho_0 \derx{\psi}
\]

Una relazione tra variazione di pressione e variazione di densità chiuderà il sistema.



\section{Relazione pressione-densità e chiusura dell'equazione acustica}
Dalla lezione precedente avevamo ottenuto la relazione dinamica
\[
	\rho_0 \dertt{\psi} = - \derx{P}
\]

Lega lo spostamento $\psi(x,t)$ alla variazione di pressione $P(x,t)$.
Questa equazione però contiene due funzioni incognite.
Serve una seconda relazione che colleghi $P$ e $\rho$.

Dalla variazione di densità avevamo già trovato
\[
	\Delta \rho = - \rho_0 \derx{\psi}
\]

Ora vogliamo ricavare come varia la pressione quando varia la densità.

Poiché $P$ non dipende solo da $\rho$ ma anche dalla temperatura $T$, occorre considerare
\[
	P = P(\rho, T)
\]

La variazione infinitesima di $P$ è
\[
	dP = \pder{P}{\rho}_{T} d\rho + \pder{P}{T}_{\rho} dT
\]

Per chiudere il sistema assumiamo che la trasformazione sia isoterma, cioè
\[
	dT = 0
\]

Quindi
\[
	dP = \pder{P}{\rho}_{T} d\rho
\]

Nell'equilibrio termodinamico il legame tra pressione e densità per un gas ideale può essere dedotto dalla legge dei gas perfetti.
In questa fase ci interessa solo il fatto che la derivata parziale
\[
	\pder{P}{\rho}_{T}
\]

Costante del mezzo.
Definiamo allora il modulo di comprimibilità isoterma
\[
	\beta = \pder{P}{\rho}_{T}\Big|_{\rho=\rho_0}
\]

Sostituendo $d\rho = \Delta\rho$ otteniamo
\[
	\Delta P = \beta\, \Delta\rho
\]

Usando la relazione precedente
\[
	\Delta\rho = - \rho_0 \derx{\psi}
\]

Segue
\[
	\Delta P = - \beta \rho_0 \derx{\psi}
\]

Poniamo ora $\Delta P = P(x,t)$, essendo la variazione rispetto alla pressione di equilibrio.
Allora
\[
	P = - \beta \rho_0 \derx{\psi}
\]

Sostituiamo questa espressione nella relazione dinamica
\[
	\rho_0 \dertt{\psi} = - \derx{P}
\]

Cioè
\[
	\rho_0 \dertt{\psi} = - \derx\!\left( - \beta \rho_0 \derx{\psi} \right)
\]

Otteniamo
\[
	\rho_0 \dertt{\psi} = \beta \rho_0 \derxx{\psi}
\]

Semplificando $\rho_0$ si arriva a
\[
	\dertt{\psi} = \beta \derxx{\psi}
\]

Questa è l'equazione d'onda di d'Alembert per le onde acustiche in condizioni isoterme:
\[
	\dertt{\psi} = v^2 \derxx{\psi} \qquad
	v^2 = \beta
\]

Poiché $\beta = \pder{P}{\rho}_T$ possiamo scrivere la velocità dell'onda come
\[
	v = \sqrt{\frac{\beta}{\rho_0}}
\]

Questa espressione fornisce la velocità delle onde sonore in un fluido isoterma.
La struttura dell'equazione è identica a quella trovata per la corda vibrante, ma con diverse grandezze fisiche: il ruolo di $T_0$ è ora svolto da $\beta$ e il ruolo della massa per unità di lunghezza è svolto da $\rho_0$.

La natura universale di questa equazione è notevole.
L'equazione di d'Alembert descrive onde meccaniche sulla corda, onde sonore nei fluidi, onde elettromagnetiche nel vuoto e onde gravitazionali nella relatività generale lineare.

In ogni caso compare la stessa struttura matematica
\[
	\dertt{\Phi} = v^2 \derxx{\Phi}
\]
per una variabile $\Phi$ che rappresenta di volta in volta spostamento, pressione, campo elettrico, campo magnetico o variazione metrica dello spazio tempo.

Nelle prossime lezioni vedremo come alla perturbazione di spostamento $\psi$ corrisponda anche una perturbazione di pressione $P(x,t)$ e di densità $\rho(x,t)$, che soddisfano a loro volta la stessa equazione d'onda.



\section{Equazioni d'onda per pressione e densità}
Partiamo dalla relazione già ricavata tra densità e spostamento
\[
	\Delta\rho = - \rho_0 \derx{\psi}
\]

e dalla sua inversa
\[
	\derx{\psi} = - \frac{\Delta\rho}{\rho_0}
\]

Inseriamo questa relazione nell'equazione d'onda per $\psi$
\[
	\dertt{\psi} = \frac{\beta}{\rho_0} \derxx{\psi}
\]

Sostituendo
\[
	\derxx{\psi} = - \frac{1}{\rho_0} \derx{(\Delta\rho)}
\]

si ottiene
\[
	\dertt{\psi} = - \frac{\beta}{\rho_0^2}\, \derx{(\Delta\rho)}
\]

Deriviamo ora entrambi i membri rispetto a $x$:
\[
	\derx{\left( \dertt{\psi} \right)} = - \frac{\beta}{\rho_0^2}\, \derxx{(\Delta\rho)}
\]

Poiché $\psi$ è funzione regolare, possiamo scambiare l'ordine delle derivate
\[
	\dertt{\left( \derx{\psi} \right)} = - \frac{\beta}{\rho_0^2}\, \derxx{(\Delta\rho)}
\]

Usiamo di nuovo la relazione tra densità e spostamento
\[
	\derx{\psi} = - \frac{\Delta\rho}{\rho_0}
\]

Allora
\[
	\dertt{\left( - \frac{\Delta\rho}{\rho_0} \right)} = - \frac{\beta}{\rho_0^2} \derxx{(\Delta\rho)}
\]

Moltiplichiamo per $-\rho_0$:
\[
	\dertt{(\Delta\rho)} = \frac{\beta}{\rho_0} \derxx{(\Delta\rho)}
\]

Questa è una equazione di d'Alembert per la densità:
\[
	\dertt{(\Delta\rho)} = v^2 \derxx{(\Delta\rho)} \qquad
	v^2 = \frac{\beta}{\rho_0}
\]

La stessa procedura vale per la pressione.
Poiché abbiamo mostrato che
\[
	\Delta P = \beta\, \frac{\Delta\rho}{\rho_0}
\]

Le variazioni di pressione soddisfano la medesima equazione
\[
	\dertt{(\Delta P)} = v^2 \derxx{(\Delta P)}
\]

Esistono quindi tre onde distinte ma simultanee:
\begin{itemize}
	\item Onda di spostamento $\psi(x,t)$
	\item Onda di densità $\Delta\rho(x,t)$
	\item Onda di pressione $\Delta P(x,t)$
\end{itemize}

Tutte si propagano con la stessa velocità
\[
	v = \sqrt{\frac{\beta}{\rho_0}}
\]

Consideriamo ora una sorgente che impone uno spostamento armonico alla superficie $x=0$:
\[
	\psi(0,t) = A \cos(\omega t)
\]

Questa condizione produce nel fluido una soluzione ondosa progressiva
\[
	\psi(x,t) = A \cos(kx - \omega t) \qquad
	k = \frac{\omega}{c}
\]

La densità segue da
\[
	\Delta\rho = - \rho_0 \derx{\psi}
\]

Quindi
\[
	\Delta\rho(x,t) = A \rho_0 k \sin(kx - \omega t)
\]

La pressione segue da
\[
	\Delta P = \beta \frac{\Delta\rho}{\rho_0}
\]
e dunque
\[
	\Delta P(x,t) = A \beta k \sin(kx - \omega t)
\]

Le onde di pressione e densità sono quindi in fase tra loro, mentre risultano sfasate di $\pi/2$ rispetto all'onda di spostamento.
In particolare:
\[
	\psi \propto \cos(kx - \omega t) \qquad
	\Delta\rho \propto \sin(kx - \omega t) \qquad
	\Delta P \propto \sin(kx - \omega t)
\]

L'onda fisicamente osservabile è l'onda di pressione, mentre l'onda di spostamento rappresenta l'oscillazione locale delle particelle del fluido.
Ogni particella del mezzo oscilla attorno alla posizione di equilibrio, mentre l'onda si propaga.

Le animazioni mostrano esattamente questo: le particelle oscillano avanti e indietro, ma le zone di compressione e rarefazione si muovono lungo l'asse $x$ con velocità $v$.
Le creste dell'onda di densità sono le regioni più compresse, quelle di pressione sono identiche, e si muovono con la stessa legge.
\end{document}
