Aggiunto onde, fatta la trattazione dell'oscillatore armonico semplice, modifiche minime alla libreria base
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% Rende il titolo e l'autore delle variabili
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% Rende il titolo e l'autore delle variabili
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% minimo comune multiplo
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\title{Onde}
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\author{Jacopo Basso Ricci}
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\date{\today}
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\usepackage{./../jacbr}
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\begin{document}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\pagebreak
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\section{Notazione}
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In questo documento userò sempre la scrittura
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\[
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\dert{x} \text{ e } \dertt{x}
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rispettivamente per derivate temporali di primo e secondo ordine.
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\section{L'oscillatore armonico}
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L'oscillatore è un modello idealizzato che noi studieremo per avere una base solida da cui partire.
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\begin{defJ}{Oscillatore Armonico}{def: oscilArm}
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Immaginiamo di avere un piano orizzontale senza alcun attrito sulla quale posizioniamo una massa vincolata ad un punto fisso tramite una molla ideale.
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\end{defJ}
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NOTA: La molla è definita ideale in quanto non ha massa e rispetta perfettamente la legge di Hooke.
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Definito questo modello di base iniziamone lo studio.
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Immaginiamo di spostare la massa dalla posizione di equlibrio della molla.
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In questa condizione, per ora statica, facciamo l'analisi delle forze.
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\[
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\sum_i \vec F_i = m \dertt{\vec x}
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\]
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Poichè il moto avviene soltanto lungo un asse, ha un solo grado di libertà, non è necessaria la notazione vettoriale.
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\begin{align*}
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F = -k x = m \dertt{x} \\
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\dertt{x} + \frac k m x = 0
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\end{align*}
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L'equazione differenziale che abbiamo trovato, chiamta anche equazione del moto, ha come soluzione una famiglia di funzioni.
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In particolare questa è un equazione differenziale lineare (compaiono solo x e le sue derivate), omogenea (a "destra" c'è 0), del secondo ordine (le derivate compaiono al massimo all'ordine 2).
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Per semplificare la trattazione matematica:
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\begin{defJ}{Pulsazione}{def:omp}
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\[
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\omega_p^2 = \frac k m
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\]
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\end{defJ}
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In questo modo l'equazione differenziale diventa:
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\[
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\dertt{x} = - \omega_p^2 x
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\]
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Se noi guardiamo questa ODE ci rendiamo conto che dobbiamo trovare una funzione che differenziata 2 volte è la stessa funzione a meno di una costante.
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Ci ricordiamo che questa è una caratteristica delle funzioni trigonometriche $\cos(x)$ e $\sin(x)$.
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Proviamo a vedere cosa succede sostituendo queste funzioni a x.
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\begin{align*}
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x(t) = \cos(t)\\
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\dert{x} = - \sin(t)\\
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\dertt{x} = - \cos(t)\\
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\end{align*}
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Siamo sulla buona strada, ora dobbiamo introdurre $ \omega_p $.
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\begin{align*}
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x(t) = \cos(\omega_p t)\\
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\dert{x} = - \omega_p \sin(\omega_p t)\\
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\dertt{x} = - \omega_p^2 \cos(\omega_p t) = - \omega_p^2 x(t)
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\end{align*}
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Abbiamo una soluzione valida, ma non è l'unica che ci viene in mente, come detto prima possiamo fare lo stesso giochetto anche con $\sin(x)$.
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\begin{align*}
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x(t) = \sin(\omega_p t)\\
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|
\dert{x} = \omega_p \cos(\omega_p t)\\
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||||||
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\dertt{x} = - \omega_p^2 \sin(\omega_p t) = - \omega_p^2 x(t)
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\end{align*}
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Abbiamo quindi 2 soluzioni particolari indipendenti (l'una non è il prodotto dell'altra).
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La soluzione generale dell'oscillatore armonico risulta essere la combinazione lineare delle 2 soluzioni particolari.
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\[
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x(t) = A \cos(\omega_p t) + B \sin(\omega_p t)
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\]
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Un altro modo per scrivere la stessa cosa è questo:
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\[
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x(t) = R \cos(\omega_p t + \varphi)
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\]
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\begin{dimJ}{Trasformazione dell'equazione}{dim:mate}
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Partiamo dalla soluzione:
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\[
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A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t).
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\]
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Vogliamo riscriverla come
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\[
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R\cos(\omega t + \varphi).
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\]
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Usiamo la formula di addizione:
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\[
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\cos(\omega t + \varphi) = \cos(\omega t)\cos\varphi - \sin(\omega t)\sin\varphi
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\]
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Dunque:
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\[
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R\cos(\omega t + \varphi) = R\cos\varphi\,\cos(\omega t) - R\sin\varphi\ \sin(\omega t).
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\]
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Uguagliando i coefficienti otteniamo il sistema:
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\[
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\begin{cases}
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A = R\cos\varphi,\\[6pt]
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B = -R\sin\varphi.
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\end{cases}
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\]
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Da cui:
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\[
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R = \sqrt{A^2 + B^2}, \qquad \tan\varphi = -\,\frac{B}{A}
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\]
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Pertanto:
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\[
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A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) = \sqrt{A^2 + B^2}\,\cos\8\omega t + \varphi\9
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\]
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\end{dimJ}
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\subsection{Condizioni iniziali}
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Per ora abbiamo solo guardato ad una soluzione generale, come possiamo calarla in un caso specifico?
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Se osserviamo il nostro sistema ci viene in mente che noi possiamo farlo partire in 2 modi: spostando la massa dal punto di riposo della molla, dando una leggera velocità iniziale alla molla o con una combinazione di queste 2 situazioni.
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Partiamo dall'equazione generale:
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\[
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x(t) = A \cos(\omega_p t) + B \sin(\omega_p t)
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\]
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Poichè noi vogliamo definire questa equazione a partire dalle condizioni iniziali capiamo cosa succede in 0.
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\begin{align*}
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x(t) |_{t=0} = x(0) = A \\
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\dert{x} = - A \omega_p \sin(\omega_p t) + B \omega_p \cos(\omega_p t) \\
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\dert{x(0)} = B \omega_p = v(0)\\
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B = \frac{v(0)}{\omega_p}
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\end{align*}
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In questo modo abbiamo fissato i valori di A, B in modo tale che siano definite a partire dai valori fisici del sistema.
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Con le formule ottenute prima possiamo anche muoverci tra le 2 soluzioni.
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\begin{align*}
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x(t) = R \cos(\omega_p t + \varphi)\\
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R = \sqrt{A^2 + B^2}\\
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\tan \varphi = - \frac B A
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\end{align*}
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\subsection{Analisi Dimensionale e implicazioni}
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Tutto quello che abbiamo trovato fin ora deve avere unità di misura coerenti.
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Partiamo dall'analisi di $\omega_p$.
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\[
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[\omega_p] = \left[\sqrt{\frac{K}{m}}\right] = \sqrt{\frac{\si{\newton\per\meter}}{\si{\kilogram}}} = \sqrt{\frac{\si{\kilogram\per\second\squared}}{\si{\kilogram}}} = \sqrt{\si{\per\second\squared}} = \si{\per\second}
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\]
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Noi sappiamo che i $\si{\rad}$ sono un unità di misura che è in realtà adimensionale, ma per maggiore chiarezza preferiamo scrivere:
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\[
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[\omega_p] = \si{\rad\per\second}
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\]
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Ragionando sulle caratteristiche delle funzioni trigonometriche risulta chiaro che questa $\omega_p$ è legata al periodo $T$. In particolare:
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\begin{defJ}{Periodo}{def:periodo}
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\begin{align*}
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T = \frac{2\pi}{\omega_p}\\
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[T] = \frac{1}{\si{\per\second}} = \si{\second}
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\end{align*}
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\end{defJ}
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Come si nota anche le unità di misura sono coerenti.
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Esiste anche un'altra grandezza ricavata da $\omega_p$, che è strettamente legata al periodo.
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\begin{defJ}{Frequenza}{def:freq}
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\begin{align*}
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f = \frac 1 T \imp& \omega_p = 2 \pi f\\
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[f] =& \si{\per\second}
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\end{align*}
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\end{defJ}
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\end{document}
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