Aggiunto onde, fatta la trattazione dell'oscillatore armonico semplice, modifiche minime alla libreria base

onde/onde.tex

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+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\title{Onde}
+\author{Jacopo Basso Ricci}
+\date{\today}
+\usepackage{./../jacbr}
+
+\begin{document}
+	\maketitle
+	\tableofcontents
+	\pagebreak
+
+\section{Notazione}
+In questo documento userò sempre la scrittura
+
+\[
+	\dert{x} \text{  e  } \dertt{x}
+\]
+
+rispettivamente per derivate temporali di primo e secondo ordine.
+
+
+
+\section{L'oscillatore armonico}
+L'oscillatore è un modello idealizzato che noi studieremo per avere una base solida da cui partire.
+
+\begin{defJ}{Oscillatore Armonico}{def: oscilArm}
+	Immaginiamo di avere un piano orizzontale senza alcun attrito sulla quale posizioniamo una massa vincolata ad un punto fisso tramite una molla ideale.
+\end{defJ}
+
+NOTA: La molla è definita ideale in quanto non ha massa e rispetta perfettamente la legge di Hooke.
+
+Definito questo modello di base iniziamone lo studio.
+Immaginiamo di spostare la massa dalla posizione di equlibrio della molla.
+In questa condizione, per ora statica, facciamo l'analisi delle forze.
+
+\[
+	\sum_i \vec F_i = m \dertt{\vec x}
+\]
+
+Poichè il moto avviene soltanto lungo un asse, ha un solo grado di libertà, non è necessaria la notazione vettoriale.
+
+\begin{align*}
+	F = -k x = m \dertt{x} \\
+	\dertt{x} + \frac k m x = 0
+\end{align*}
+
+L'equazione differenziale che abbiamo trovato, chiamta anche equazione del moto, ha come soluzione una famiglia di funzioni.
+In particolare questa è un equazione differenziale lineare (compaiono solo x e le sue derivate), omogenea (a "destra" c'è 0), del secondo ordine (le derivate compaiono al massimo all'ordine 2).
+
+Per semplificare la trattazione matematica:
+
+\begin{defJ}{Pulsazione}{def:omp}
+	\[
+		\omega_p^2 = \frac k m
+	\]
+\end{defJ}
+
+In questo modo l'equazione differenziale diventa:
+
+\[
+	\dertt{x} = - \omega_p^2 x
+\]
+
+Se noi guardiamo questa ODE ci rendiamo conto che dobbiamo trovare una funzione che differenziata 2 volte è la stessa funzione a meno di una costante.
+Ci ricordiamo che questa è una caratteristica delle funzioni trigonometriche $\cos(x)$ e $\sin(x)$.
+Proviamo a vedere cosa succede sostituendo queste funzioni a x.
+
+\begin{align*}
+	x(t) = \cos(t)\\
+	\dert{x} = - \sin(t)\\
+	\dertt{x} = - \cos(t)\\
+\end{align*}
+
+Siamo sulla buona strada, ora dobbiamo introdurre $ \omega_p $.
+
+\begin{align*}
+	x(t) = \cos(\omega_p t)\\
+	\dert{x} = - \omega_p \sin(\omega_p t)\\
+	\dertt{x} = - \omega_p^2 \cos(\omega_p t) = - \omega_p^2 x(t)
+\end{align*}
+
+Abbiamo una soluzione valida, ma non è l'unica che ci viene in mente, come detto prima possiamo fare lo stesso giochetto anche con $\sin(x)$.
+
+\begin{align*}
+	x(t) = \sin(\omega_p t)\\
+	\dert{x} = \omega_p \cos(\omega_p t)\\
+	\dertt{x} = - \omega_p^2 \sin(\omega_p t) = - \omega_p^2 x(t)
+\end{align*}
+
+Abbiamo quindi 2 soluzioni particolari indipendenti (l'una non è il prodotto dell'altra).
+La soluzione generale dell'oscillatore armonico risulta essere la combinazione lineare delle 2 soluzioni particolari.
+
+\[
+	x(t) = A \cos(\omega_p t) + B \sin(\omega_p t)
+\]
+
+Un altro modo per scrivere la stessa cosa è questo:
+
+\[
+	x(t) = R \cos(\omega_p t + \varphi)
+\]
+
+\begin{dimJ}{Trasformazione dell'equazione}{dim:mate}
+	Partiamo dalla soluzione:
+	\[
+		A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t).
+	\]
+	Vogliamo riscriverla come
+	\[
+		R\cos(\omega t + \varphi).
+	\]
+	Usiamo la formula di addizione:
+	\[
+		\cos(\omega t + \varphi) = \cos(\omega t)\cos\varphi - \sin(\omega t)\sin\varphi 
+	\]
+	Dunque:
+	\[
+		R\cos(\omega t + \varphi) = R\cos\varphi\,\cos(\omega t) - R\sin\varphi\ \sin(\omega t).
+	\]
+	Uguagliando i coefficienti otteniamo il sistema:
+	\[
+		\begin{cases}
+			A = R\cos\varphi,\\[6pt]
+			B = -R\sin\varphi.
+		\end{cases}
+	\]
+	Da cui:
+	\[
+		R = \sqrt{A^2 + B^2}, \qquad \tan\varphi = -\,\frac{B}{A}
+	\]
+
+	Pertanto:
+	\[
+		A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) = \sqrt{A^2 + B^2}\,\cos\8\omega t + \varphi\9
+	\]
+\end{dimJ}
+
+
+
+\subsection{Condizioni iniziali}
+Per ora abbiamo solo guardato ad una soluzione generale, come possiamo calarla in un caso specifico?
+Se osserviamo il nostro sistema ci viene in mente che noi possiamo farlo partire in 2 modi: spostando la massa dal punto di riposo della molla, dando una leggera velocità iniziale alla molla o con una combinazione di queste 2 situazioni.
+Partiamo dall'equazione generale:
+
+\[
+	x(t) = A \cos(\omega_p t) + B \sin(\omega_p t)
+\]
+
+Poichè noi vogliamo definire questa equazione a partire dalle condizioni iniziali capiamo cosa succede in 0.
+
+\begin{align*}
+	x(t) |_{t=0} = x(0) = A \\
+	\dert{x} = - A \omega_p \sin(\omega_p t) + B \omega_p \cos(\omega_p t) \\
+	\dert{x(0)} = B \omega_p = v(0)\\
+	B = \frac{v(0)}{\omega_p}
+\end{align*}
+
+In questo modo abbiamo fissato i valori di A, B in modo tale che siano definite a partire dai valori fisici del sistema.
+Con le formule ottenute prima possiamo anche muoverci tra le 2 soluzioni.
+
+\begin{align*}
+	x(t) = R \cos(\omega_p t + \varphi)\\
+	R = \sqrt{A^2 + B^2}\\
+	\tan \varphi = - \frac B A
+\end{align*}
+
+
+
+\subsection{Analisi Dimensionale e implicazioni}
+Tutto quello che abbiamo trovato fin ora deve avere unità di misura coerenti.
+Partiamo dall'analisi di $\omega_p$.
+
+\[
+	[\omega_p] = \left[\sqrt{\frac{K}{m}}\right] = \sqrt{\frac{\si{\newton\per\meter}}{\si{\kilogram}}} =  \sqrt{\frac{\si{\kilogram\per\second\squared}}{\si{\kilogram}}} = \sqrt{\si{\per\second\squared}} = \si{\per\second}
+\]
+
+Noi sappiamo che i $\si{\rad}$ sono un unità di misura che è in realtà adimensionale, ma per maggiore chiarezza preferiamo scrivere:
+\[
+	[\omega_p] = \si{\rad\per\second}
+\]
+
+Ragionando sulle caratteristiche delle funzioni trigonometriche risulta chiaro che questa $\omega_p$ è legata al periodo $T$. In particolare:
+
+\begin{defJ}{Periodo}{def:periodo}
+	\begin{align*}
+		T = \frac{2\pi}{\omega_p}\\
+		[T] = \frac{1}{\si{\per\second}} = \si{\second}
+	\end{align*}
+\end{defJ}
+
+Come si nota anche le unità di misura sono coerenti.
+
+Esiste anche un'altra grandezza ricavata da $\omega_p$, che è strettamente legata al periodo.
+
+\begin{defJ}{Frequenza}{def:freq}
+	\begin{align*}
+		f = \frac 1 T \imp& \omega_p = 2 \pi f\\
+		[f] =& \si{\per\second}
+	\end{align*}
+\end{defJ}
+
+\end{document}