Onde aggiunti i battimenti

onde/onde.tex

@@ -200,6 +200,7 @@ Esiste anche un'altra grandezza ricavata da $\omega_p$, che è strettamente lega
 \end{defJ}
 
 
+
 \section{Energia Oscillatore Armonico}
 Facciamo lo studio dell'energia di un oscillatore armonico.
 Per condizioni di stabilità sappiamo che il potenziale $U$ ha delle caratteristiche ben precise in un espansione di Taylor-McLawrin:
@@ -625,6 +626,7 @@ Scrivamo la formula in modo chiaro:
 
 
 
+
 \section{Oscillatore armonico forzato}
 L'oscillatore smorzato è destinato a fermarsi, immaginiamo di dare energia al sistema.
 Introduciamo quindi una forzate:
@@ -827,6 +829,7 @@ Si dice che oscillazione e forzamento sono in quadratura di fase.
 
 
 
+
 \section{Energia oscillatore armonico forzato}
 Per situazioni \(\tau >> \frac 1 \gamma\) vale la soluzione:
 \[
@@ -879,4 +882,132 @@ L'oscillatore è quindi un moto perpetuo, ma questo non va contro le leggi della
 
 
 
+\section{Sistemi a più gradi di libertà}
+Partiamo da un modello molto semplice: 2 pendoli legati da una molla.
+I 2 pendoli sarebbero totalmente indipendenti se non fosse per la molla.
+Facciamo un po' di nomencatura:
+\begin{itemize}
+	\item $m$: massa delle molle
+	\item $K$: costante elastica della molla
+	\item $x_1$: spostamento della massa 1 dall'equilibrio
+	\item $x_2$: spostamento della massa 2 dall'equilibrio
+	\item $l$: lunghezza del pendolo
+\end{itemize}
+
+Possiamo scrivere:
+\[
+	F_1 = - \frac{mg}{l} x_1 - K(x_1 - x_2) \qquad
+	F_2 = - \frac{mg}{l} x_2 - K(x_2 - x_1) 
+\]
+
+Scriviamo le equazioni del moto per le 2 masse:
+\[
+	m \dertt{x_1} = - \frac{mg}{l} x_1 - K(x_1 - x_2) \qquad
+	m \dertt{x_2} = - \frac{mg}{l} x_2 - K(x_2 - x_1) 
+\]
+
+Sommiamo e sotraiamo le 2 equazioni:
+\begin{align*}
+	m \8 \dertt{x_1} + \dertt{x_2} \9 = - \frac{mg}{l} (x_1 + x_2)\\
+	m \8 \dertt{x_1} - \dertt{x_2} \9 = - \frac{mg}{l} (x_1 - x_2) - 2 K (x_1 - x_2)
+\end{align*}
+
+A questo punto definisco $u_a = x_1 + x_2$ e $u_b = x_1 - x_2$.
+Otteniamo 2 equazioni:
+\begin{align*}
+	m \dertt{u_a} = - \frac{mg}{l} u_a\\
+	m \dertt{u_b} = - \frac{mg}{l} u_b - 2 K u_b
+\end{align*}
+
+Queste sono equazioni sono indipendenti e sappiamo come risolverle.
+\begin{align*}
+	\dertt{u_a} + \frac g l u_a = 0 \qquad \dertt{u_a} + \omega_a^2 u_a = 0\\
+	\dertt{u_b} + \8 \frac{g}{l} + 2 \frac K m \9 u_b = 0 \qquad \dertt{u_b} + \omega_b^2 u_b = 0
+\end{align*}
+
+Le soluzioni sono quindi:
+\[
+	u_a = A_a \cos(\omega_a t + \varphi_a) \qquad
+	u_b = A_b \cos(\omega_b t + \varphi_b) 
+\]
+
+Ora noi dobbiamo tornare indietro a $x_1$, $x_2$.
+\begin{align*}
+	x_1(t) = \frac{u_a + u_b}{2} \\
+	x_2(t) = \frac{u_a - u_b}{2}
+\end{align*}
+
+Abbiamo completato lo studio del sistema.
+Se osserviamo i moti dei pendoli questi sono la sovrapposizione di 2 moti semplici.
+Nel modo $u_a$ le 2 masse si muovono insieme e la molla non fa nulla, mentre nel modo $u_b$ i pendoli si contraggono e si aprono in modo simmetrico.
+Il nostro moto complesso diventa facile da studiare se pensato come la sovrapposizione di 2 moti disitinti e indipendenti.
+Questi sono chiamati MODI NORMALI, nel caso specifico informalmente sono chiamati modo a pendolo e modo a respiro.
+
+
+
+\section{Battimenti}
+Pendiamo l'esempio precedente e caliamoci nel caso specifico dove il pendolo parte da fermo con le seguenti posizioni iniziali:
+\[
+	x_1(0) = -2A \qquad
+	x_2(0) = 0
+\]
+
+Se noi vogliamo studiare quello che stà succdedendo dobbiamo scomporre la nostra condizione iniziale nei 2 modi semplici.
+Facciamo una prova ragionata: prendendo il modo a pendolo e mettendolo a $-A$ avremmo che 
+\[
+		x_1(0) = -A \qquad
+		x_2(0) = -A
+\]
+
+A questo punto introduciamo un modo a respiro che sia "allargato" di una A. Il nostro modo a respiro avrebbe condizione iniziale:
+\[
+		x_1(0) = -A \qquad
+		x_2(0) = +A
+\]
+
+La somma dei 2 modi all'istante iniziale da la condizione iniziale:
+\[
+	x_1(0) = -2A \qquad
+	x_2(0) = 0
+\]
+
+Abbiamo quindi scomposto il caso iniziale nei suoi 2 modi normali.
+\[
+	\omega_a = \sqrt{\frac g l} \qquad
+	\omega_b = \sqrt{\frac g l + 2 \frac k m}
+\]
+
+Se osserviamo il moto della massa 1 $x_1$ ci accorigamo che è la somma di 2 oscillazioni simili ma non uguali.
+L'effetto prodotto è quello di un oscillazione che ogni tanto interferisce in modo costruttivo ed ogni tanto in modo distruttivo.
+Questo fenomeno si chiamano BATTIMENTI.
+\[
+	x_1(t) = C_a \cos(\omega_a t + \varphi_a) + C_b \cos(\omega_b t + \varphi_b) 
+\]
+
+Nel caso specifico: $\varphi_a = \varphi_b = 0$, $C_a=C_b$:
+\[
+	x_1(t) = A [\cos (\omega_a t) + \cos (\omega_b t)]
+\]
+
+Usiamo le formule di Prostaferesi:
+\[
+	\cos\alpha + \cos\beta = 2 \cos\!\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\!\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \qquad
+	\alpha = \omega_a t \quad \beta = \omega_b t
+\]
+
+Definiamo 2 variabili con nomi che sembrano casuali, ma diventerranno chiari:
+\[
+	\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\omega_a + \omega_b}{2} t = \omega_M t \qquad
+	\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{\omega_a - \omega_b}{2} t = \omega_{inv} t
+\]
+
+Ne risulta che:
+\[
+	x_1(t) = 2 \cos(\omega_M t) \cos(\omega_{inv} t)
+\]
+
+Risuta chiaro che $\omega_{inv} << \omega_M$.
+Se noi grafichiamo questo andamento ci accorgeremmo che $\omega_{inv}$ rappresenta l'inviluppo della curva,
+mentre $\omega_M$ le oscillazioni più piccole che avvengono nel "range" definito dall'inviluppo.
+
 \end{document}