Aggiunto a onde la trattazione completa dell'oscillatore armonico forzato
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@@ -27,7 +27,7 @@ L'oscillatore è un modello idealizzato che noi studieremo per avere una base so
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Immaginiamo di avere un piano orizzontale senza alcun attrito sulla quale posizioniamo una massa vincolata ad un punto fisso tramite una molla ideale.
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\end{defJ}
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NOTA: La molla è definita ideale in quanto non ha massa e rispetta perfettamente la legge di Hooke.
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NOTA: La molla è definita ideale in quanto non ha massa e rispetta la legge di Hooke.
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Definito questo modello di base iniziamone lo studio.
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Immaginiamo di spostare la massa dalla posizione di equlibrio della molla.
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@@ -202,13 +202,13 @@ Esiste anche un'altra grandezza ricavata da $\omega_p$, che è strettamente lega
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\section{Energia Oscillatore Armonico}
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Facciamo lo studio dell'energia di un oscillatore armonico.
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Per condizioni di stabilità sappiamo che il potenziale $U$ ha delle caratteristiche ben precise chiare in un espansione di Taylor-McLawrin:
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Per condizioni di stabilità sappiamo che il potenziale $U$ ha delle caratteristiche ben precise in un espansione di Taylor-McLawrin:
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\begin{align*}
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U(x) &= U(0) + \der{U(0)}{x} x + \frac 1 2 \der{U(0)}{x^2} x^2 + \dots\\
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U(x) &= U(0) + \derx{U(0)} x + \frac 1 2 \derxx{U(0)} x^2 + \dots\\
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U(0) &= const.\\
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\der{U(0)}{x} &= 0\\
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\der{U(0)}{x^2} &> 0
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\derx{U(0)} &= 0\\
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\derxx{U(0)} &> 0
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\end{align*}
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Ciò è intuitivo se pensiamo che per avere un oscillatore bisogna essere in una buca di potenziale.
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@@ -236,7 +236,7 @@ Studiamo l'energia meccanica totale e chiamiamo il paramentro $\alpha$ per parla
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\begin{align*}
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E_m = K + U\\
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K = \frac 1 2 m \dert{x}\\
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K = \frac 1 2 m \8\dert{x} \9^2\\
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U = \frac 1 2 \alpha x^2
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\end{align*}
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@@ -625,7 +625,257 @@ Scrivamo la formula in modo chiaro:
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%%\section{Oscillatore armonico forzato}
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\section{Oscillatore armonico forzato}
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L'oscillatore smorzato è destinato a fermarsi, immaginiamo di dare energia al sistema.
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Introduciamo quindi una forzate:
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\[
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\dertt{x} + 2 \gamma \dert{x} + \omega_p^2 x = \frac{F_0}{m} \cos \omega_F t
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\]
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Oscillatore forzato con forzante periodica o armonica.
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Anche in questo caso bisogna identificare una soluzione e la teoria delle equazioni differenziali ci dice che si ottiene sommando la soluzione generale per l'equazione differenziale omogenea associata e una soluzione particolare dell'equazione completa.
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Nel nostro caso noi già abbiamo la soluzione generale dell'omogenea associata:
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\[
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x_0(t) = A e^{-\gamma t} \cos (\omega t + \varphi_0)
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\]
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Perciò la soluzione generale sarà:
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\[
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x(t) = A e^{-\gamma t} \cos (\omega t + \varphi_0) + x_p(t)
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\]
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Come troviamo $x_p(t)$ ? Sicuramente ha una forma ben specifica:
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\[
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x_p(t) = B \cos(\omega_f t + \varphi)
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\]
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Quali valori di $B$ e $\varphi$, se esistono, devo sostituire?
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\[
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x(t) = A e^{-\gamma t} \cos (\omega t + \varphi_0) + B \cos(\omega_f t + \varphi)
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\]
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Questa è molto interessante perché per $ t >> \tau = \frac 1 \gamma$, superata la fase transiente, $x(t) = x_p(t)$.
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In altre parole quando il sistema va a regime la componente che decade come un esponenziale è 0.
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Tutto quello che resta è soltanto l'onda data dalla forzante.
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\begin{dimJ}{Dimostrazione della soluzione, parte 1}{dim:sol}
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Introduciamo una funzione complessa \(z(t)\) tale che \(x(t)=\Re[z(t)]\).
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Poiché \(\cos\alpha=\Re(e^{i\alpha})\), l’equazione reale equivale alla parte reale di
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\[
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\dertt{z} + 2\gamma \dert{z} + \omega_p^2 z = \frac{F_0}{m} e^{i\omega_f t}.
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\]
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Consideriamo prima l'equazione omogenea:
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\[
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\dertt{z_h} + 2\gamma \dert{z_h} + \omega_p^2 z_h = 0.
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\]
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La soluzione caratteristica è \(z_h(t)=C e^{(-\gamma+i\omega)t}\), dove \(\omega=\sqrt{\omega_p^2-\gamma^2}\).
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Scrivendo \(C=A e^{i\varphi_0}\), otteniamo
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\[
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z_h(t)=A e^{-\gamma t} e^{i(\omega t+\varphi_0)}.
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\]
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Prendendo la parte reale:
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\[
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x_h(t)=A e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\varphi_0),
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\]
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che è il primo termine richiesto.
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\end{dimJ}
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\begin{dimJ}{Dimostrazione della soluzione, parte 2}{dim:sol2}
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Cerchiamo ora una soluzione particolare nella forma \(z_p(t)=K e^{i\omega_f t}\)
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Calcoliamo le derivate:
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\[
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\dert{z_p} = i\omega_f K e^{i\omega_f t}, \qquad \dertt{z_p} = -\omega_f^2 K e^{i\omega_f t}
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\]
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Sostituendo nell’equazione complessa:
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\[
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(-\omega_f^2 K + 2 i\gamma\omega_f K + \omega_p^2 K)e^{i\omega_f t} = \frac{F_0}{m} e^{i\omega_f t}
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\]
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Dividendo per \(e^{i\omega_f t}\):
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\[
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K(\omega_p^2 - \omega_f^2 + 2i\gamma\omega_f) = \frac{F_0}{m}
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\]
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Da cui:
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\[
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K = \frac{F_0/m}{\omega_p^2-\omega_f^2+2i\gamma\omega_f}
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\]
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Scriviamo \(K = B e^{i\varphi}\). Allora:
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\[
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z_p(t)=B e^{i(\omega_f t+\varphi)}
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\]
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Prendendone la parte reale:
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\[
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x_p(t)=B\cos(\omega_f t+\varphi)
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\]
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che coincide con il secondo termine della soluzione proposta.
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La soluzione complessiva è:
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\[
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z(t)=A e^{(-\gamma+i\omega)t} e^{i\varphi_0} + B e^{i(\omega_f t+\varphi)}
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\]
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Prendendo la parte reale si ottiene finalmente:
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\[
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x(t)=A e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\varphi_0) + B\cos(\omega_f t+\varphi)
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\]
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che soddisfa l’equazione originale. CVD.
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\end{dimJ}
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\subsection{Condizioni Iniziali}
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Sfruttiamo i risultati della dimostrazione.
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Poniamo ora \(D = \omega_p^2-\omega_f^2 + 2 i \gamma \omega_f\)
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Il modulo del denominatore è
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\[
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\abs{D} = \sqrt{(\omega_p^2 - \omega_f^2)^2 + (2\gamma\omega_f)^2}
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\]
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Quindi il modulo di \(K\) è
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\[
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B = \abs{K} = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_p^2 - \omega_f^2)^2 + (2\gamma\omega_f)^2}}
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\]
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Scriviamo ora \(K = B e^{i\varphi}\), proprio come nella dimostrazione.
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Per determinare l’angolo \(\varphi\) osserviamo che \(K\) è il reciproco (a meno di un fattore reale positivo \(F_0/m\)) del numero complesso
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\[
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D = a + ib \qquad\text{con}\quad a = \omega_p^2 - \omega_f^2,\quad b = 2\gamma\omega_f
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\]
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Il motivo per cui compare il reciproco risulta dalla soluzione particolare: si impone la forma \(z_p(t)=K e^{i\omega_f t}\), la si inserisce nell’equazione differenziale e i termini derivati producono un fattore complesso moltiplicativo che è proprio \(D\).
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Per soddisfare l’equazione, questo fattore deve essere compensato dividendo per esso, dunque \(K\) è proporzionale a \(1/D\).
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In altre parole, il numero complesso \(D\) “pesa” la risposta del sistema, e \(K\) deve contenerne il reciproco per annullarlo.
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Il numero \(D = a + ib\) può essere rappresentato come vettore nel piano complesso con una certa lunghezza \(\abs{D}\) e un certo angolo \(\theta\).
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Questo angolo soddisfa:
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\[
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\tan\theta = \frac{b}{a}
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\]
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perché il rapporto tra parte immaginaria e parte reale è la tangente dell’angolo del vettore.
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Dunque possiamo scrivere
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\[
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D = \abs{D}\, e^{i\theta}
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\]
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Il reciproco ha la forma
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\[
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\frac{1}{D} = \frac{1}{\abs{D}} e^{-i\theta}
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\]
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Qui si vede immediatamente che il reciproco inverte l’angolo del numero complesso.
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Otteniamo quindi
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\[
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\varphi = -\theta = -\arctan\!\left(\frac{2\gamma\omega_f}{\omega_p^2-\omega_f^2}\right)
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\]
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\subsection{Casi particolari}
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Compresa la natura delle condizioni iniziali possiamo fare una minima discussione di quello che succede per semplici limiti notevoli.
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\subsubsection*{Caso \(\gamma \sim 0\)}
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Quando lo smorzamento è molto piccolo, il termine transitorio decade molto lentamente e il sistema si comporta come un oscillatore quasi conservativo.
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In particolare, nel coefficiente di risposta stazionaria
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\[
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B = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_p^2 - \omega_f^2)^2 + (2\gamma\omega_f)^2}}
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\]
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il termine \(2\gamma\omega_f\) al denominatore diventa trascurabile tranne che in prossimità della risonanza.
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Ne segue che, lontano dalla risonanza, la risposta del sistema è molto piccola, mentre in prossimità di \(\omega_f \sim \omega_p\) il denominatore tende a valori molto bassi e l’ampiezza cresce sensibilmente.
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Nel limite \(\gamma \to 0\) la risonanza tende a diventare infinitamente “stretta” e il sistema oscilla con ampiezza molto grande quando la frequenza di forzamento coincide con quella naturale.
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\subsubsection*{Caso \(\omega_f \sim \omega_p\)}
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Quando la frequenza di forzamento si avvicina alla frequenza naturale, il termine
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\[
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(\omega_p^2 - \omega_f^2)^2
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\]
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nel denominatore della risposta si riduce drasticamente. Il valore di \(B\) diventa quindi dominato dal termine di smorzamento
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\[
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(2\gamma\omega_f)^2
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\]
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e ciò porta a un picco di ampiezza attorno alla risonanza.
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Per \(\gamma\) piccolo, questo picco è particolarmente accentuato e la curva della risposta assume la tipica forma risonante molto appuntita.
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In sintesi, per \(\omega_f \sim \omega_p\) la risposta del sistema è grande e dominata quasi completamente dal regime forzato, mentre il transitorio diventa trascurabile dopo tempi brevi.
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\subsubsection*{Comportamento di \(\varphi\) per \(\omega_f \sim \omega_p\)}
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La fase si ottiene da
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\[
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\varphi = - \arctan\!\left(\frac{2\gamma\omega_f}{\omega_p^2 - \omega_f^2}\right)
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\]
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Quando \(\omega_f\) si avvicina a \(\omega_p\), il termine \(\omega_p^2 - \omega_f^2\) tende a zero e il rapporto nella tangente diventa molto grande.
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Ciò implica che l’angolo tende a
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\[
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\varphi \to -\frac{\pi}{2}
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\]
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poiché la tangente cresce senza limite e l’arctangente tende a \(\pm \pi/2\) a seconda del segno.
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Nel caso tipico con \(\gamma > 0\) e \(\omega_f\) crescente verso \(\omega_p\), l’argomento è positivo e dunque la fase risulta negativa e vicina a \(-\pi/2\).
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Fisicamente questo significa che, in prossimità della risonanza, l’oscillazione imposta dal forzamento è in ritardo di un quarto di periodo rispetto alla forza esterna, comportamento caratteristico degli oscillatori debolmente smorzati.
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Si dice che oscillazione e forzamento sono in quadratura di fase.
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\section{Energia oscillatore armonico forzato}
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Per situazioni \(\tau >> \frac 1 \gamma\) vale la soluzione:
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\[
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x(t) = B \cos(\omega t + \varphi)
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\]
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Come sempre sappiamo:
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\[
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E_m = K + U \qquad
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K = \frac 1 2 m \8\dert{x} \9^2 \quad
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U = \frac 1 2 \alpha x^2
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\]
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Facciamo la derivata della soluzione:
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\[
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\dert{x} = - B \omega \sin(\omega t + \varphi)
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\]
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Sostituendo otteniamo:
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\[
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K = \frac 1 2 m B^2 \omega^2 \sin^2(\omega t + \varphi) \quad
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U = \frac 1 2 \alpha B^2 \cos^2(\omega t + \varphi)
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\]
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Ricordiamo che \(\omega_p^2 = \frac \alpha m \imp \alpha = \omega_p^2 m\).
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La soluzione risulta quindi:
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\[
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E_m = K + U = \frac 1 2 m B^2 \8 \omega^2 \sin^2(\omega t + \varphi) + \omega_p^2 \cos^2(\omega t + \varphi) \9
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\]
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Questa formula sembra del tutto simile alla soluzione che avevamo trovato per il moto armonico semplice, ma i 2 termini non si compensano esattamente.
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Ciò è ragionevole in quanto l'energia cinetica è data dal moto forzato, mentre l'energia elastica segue il moto della molla.
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Infatti se la forzante fosse in risonanza(\(\omega = \omega_p\)):
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\[
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E_m = \frac 1 2 m \omega_p^2 B^2
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\]
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Ritroviamo un oscillatore armonico semplice.
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In questo modo stiamo dando l'energia istantaneamente quando viene persa con la forzante.
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Torniamo al caso generale:
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\begin{align*}
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E_m = K + U = \frac 1 2 m B^2 \8 \omega^2 \sin^2(\omega t + \varphi) + \omega_p^2 \cos^2(\omega t + \varphi) \9\\
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E_m = \frac 1 2 m B^2 \{ \omega^2 [1 - \cos^2(\omega t + \varphi)] + \omega_p^2 \cos^2(\omega t + \varphi) \}\\
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||||
E_m = \frac 1 2 m B^2 \{ \omega^2 + (\omega_p^2 - \omega^2) \cos^2(\omega t + \varphi) \}
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\end{align*}
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L'equazione dell'energia non decade ma oscilla tra 2 valori d'energia.
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L'oscillatore è quindi un moto perpetuo, ma questo non va contro le leggi della fisica poiché al sistema viene continuamente data energia.
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