diff --git a/jacbr.sty b/jacbr.sty
index fd571e6..324e6e3 100644
--- a/jacbr.sty
+++ b/jacbr.sty
@@ -1,10 +1,11 @@
 %!!	ffmpeg -i logo.svg -vf scale=64:64 favicon.png
-\ProvidesPackage{jacbr}
+% \ProvidesPackage{jacbr}
+\ProvidesPackage{./../jacbr}
 
 \RequirePackage[most]{tcolorbox}
 \RequirePackage{subcaption}
 
-\usepackage[utf8]{inputenc}
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 \usepackage[a4paper,margin=2cm,nohead,foot=0.5cm]{geometry}
 \usepackage{xcolor}
@@ -77,9 +78,10 @@
 %fare siusetup
 
 % Header
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+\setlength{\headheight}{14.5pt}
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-\addtolength{\topmargin}{-5pt}
+\addtolength{\topmargin}{-5.5pt}
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 \fancyhf{}
 \fancyhead[L]{\textbf{\thetitle} --- \monthname{\the\month} \the\year}
@@ -120,6 +122,8 @@
 \newcommand{\derx}[1]{\frac{d #1}{dx}}
 \newcommand{\derxx}[1]{\frac{d^2 #1}{dx^2}}
 \newcommand{\der}[2]{\frac{d #1}{d #2}}
+\newcommand{\pder}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
+
 %per le parentesi
 \newcommand{\8}{\left(}
 \newcommand{\9}{\right)}
diff --git a/onde/onde.pdf b/onde/onde.pdf
index 7c4f119..03d6292 100644
Binary files a/onde/onde.pdf and b/onde/onde.pdf differ
diff --git a/onde/onde.tex b/onde/onde.tex
index 1461cb1..ebd488f 100644
--- a/onde/onde.tex
+++ b/onde/onde.tex
@@ -30,21 +30,21 @@ L'oscillatore è un modello idealizzato che noi studieremo per avere una base so
 NOTA: La molla è definita ideale in quanto non ha massa e rispetta la legge di Hooke.
 
 Definito questo modello di base iniziamone lo studio.
-Immaginiamo di spostare la massa dalla posizione di equlibrio della molla.
+Immaginiamo di spostare la massa dalla posizione di equilibrio della molla.
 In questa condizione, per ora statica, facciamo l'analisi delle forze.
 
 \[
 	\sum_i \vec F_i = m \dertt{\vec x}
 \]
 
-Poichè il moto avviene soltanto lungo un asse, ha un solo grado di libertà, non è necessaria la notazione vettoriale.
+Poiché il moto avviene soltanto lungo un asse, ha un solo grado di libertà, non è necessaria la notazione vettoriale.
 
 \begin{align*}
 	F = -k x = m \dertt{x} \\
 	\dertt{x} + \frac k m x = 0
 \end{align*}
 
-L'equazione differenziale che abbiamo trovato, chiamta anche equazione del moto, ha come soluzione una famiglia di funzioni.
+L'equazione differenziale che abbiamo trovato, chiamata anche equazione del moto, ha come soluzione una famiglia di funzioni.
 In particolare questa è un equazione differenziale lineare (compaiono solo x e le sue derivate), omogenea (a "destra" c'è 0), del secondo ordine (le derivate compaiono al massimo all'ordine 2).
 
 Per semplificare la trattazione matematica:
@@ -111,7 +111,7 @@ Un altro modo per scrivere la stessa cosa è questo:
 	\]
 	Usiamo la formula di addizione:
 	\[
-		\cos(\omega t + \varphi) = \cos(\omega t)\cos\varphi - \sin(\omega t)\sin\varphi 
+		\cos(\omega t + \varphi) = \cos(\omega t)\cos\varphi - \sin(\omega t)\sin\varphi
 	\]
 	Dunque:
 	\[
@@ -146,7 +146,7 @@ Partiamo dall'equazione generale:
 	x(t) = A \cos(\omega_p t) + B \sin(\omega_p t)
 \]
 
-Poichè noi vogliamo definire questa equazione a partire dalle condizioni iniziali capiamo cosa succede in 0.
+Poiché noi vogliamo definire questa equazione a partire dalle condizioni iniziali capiamo cosa succede in 0.
 
 \begin{align*}
 	x(t) |_{t=0} = x(0) = A \\
@@ -233,7 +233,7 @@ Ne consegue che la forza sia:
 	F = - \frac 1 2 2 K x = - K x
 \]
 
-Studiamo l'energia meccanica totale e chiamiamo il paramentro $\alpha$ per parlare di un caso generale dove la forza abbia la stessa forma:
+Studiamo l'energia meccanica totale e chiamiamo il parametro $\alpha$ per parlare di un caso generale dove la forza abbia la stessa forma:
 
 \begin{align*}
 	E_m = K + U\\
@@ -329,11 +329,11 @@ Per questa equazione è però necessario applicare un metodo più sistematico e
 		\dert{x} = \lambda e^{\lambda t}\\
 		\dertt{x} = \lambda^2 e^{\lambda t}
 	\end{align*}
-	Sostituendo nell'equazione differenziale posso direttammente raccogliere $e^{\lambda t}$.
+	Sostituendo nell'equazione differenziale posso direttamente raccogliere $e^{\lambda t}$.
 	\[
-		e^{\lambda t} [ \lambda^2 + 2 \gamma \lambda + \omega_p^2] = 0 
+		e^{\lambda t} [ \lambda^2 + 2 \gamma \lambda + \omega_p^2] = 0
 	\]
-	Poichè noi vogliamo fare in modo che questa equazione risulti 0 sappiamo che:
+	Poiché noi vogliamo fare in modo che questa equazione risulti 0 sappiamo che:
 	\begin{align*}
 		\lambda^2 + 2 \gamma \lambda + \omega_p^2=0\\
 		\lambda_{1,2} = - \gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_p^2}\\
@@ -346,10 +346,10 @@ Per questa equazione è però necessario applicare un metodo più sistematico e
 	\]
 
 	Valutiamo il segno di $\lambda_{1,2}$, separando i vari casi e tenendo a mente che questi esponenziali non posso esplodere a $\infty$ perché questo implicherebbe una generazione di energia dal nulla.
-	
+
 \end{dimJ}
 
-\begin{dimJ}{Oscillatore armonico smorzato: SOVRASMORZATO}{dim:SOVRASMORZATO}
+\begin{dimJ}{Oscillatore armonico smorzato: SOVRA-SMORZATO}{dim:SOVRA-SMORZATO}
 	\[
 		\Delta > 0 \imp \gamma^2 > \omega_p^2
 	\]
@@ -366,13 +366,13 @@ Per questa equazione è però necessario applicare un metodo più sistematico e
 	\]
 
 	Scritta in questo modo si nota perfettamente che sono 2 esponenziali che tenendo a 0 senza aver compiuto un oscillazione vera e propria.
-	Questo sistema si chiama: SOVRASMORZATO. 	
+	Questo sistema si chiama: SOVRA-SMORZATO.
 \end{dimJ}
 
-\begin{dimJ}{Oscillatore armonico smorzato: SMORZAMENTO CRITICO}{dim:SMORZAMENTOCRITICO}
+\begin{dimJ}{Oscillatore armonico smorzato: SMORZAMENTO CRITICO}{dim:SMORZAMENTO-CRITICO}
 	Passiamo alla seconda possibilità:
 	\[
-		\Delta = 0 
+		\Delta = 0
 	\]
 
 	Questo ci crea non pochi problemi perché ora abbiamo una sola equazione e non 2 soluzioni particolari.
@@ -385,7 +385,7 @@ Per questa equazione è però necessario applicare un metodo più sistematico e
 	\[
 		x_2(t) = t e^{-\gamma t}
 	\]
-	
+
 	La nostra combinazione lineare è quindi:
 	\[
 		x(t) = e^{-\gamma t} \8 C_1 + C_2 t \9
@@ -394,12 +394,12 @@ Per questa equazione è però necessario applicare un metodo più sistematico e
 	Questo sistema viene chiamato SMORZAMENTO CRITICO. Questo è quello che si vuole ottenere in sistemi meccanici reali come i pistoni di una macchina.
 \end{dimJ}
 
-\begin{dimJ}{Oscillatore armonico smorzato: SOTTOSMORZATO}{dim:SOTTOSMORZATO}
+\begin{dimJ}{Oscillatore armonico smorzato: SOTTO-SMORZATO}{dim:SOTTO-SMORZATO}
 	Ora abbiamo l'ultimo caso:
 	\[
-		\Delta < 0 
+		\Delta < 0
 	\]
-	
+
 	Come sappiamo le soluzioni sono complesse coniugate:
 	\begin{align*}
 		\lambda_{1,2} = -\gamma \pm i \sqrt{\omega_p^2 - \gamma^2}\\
@@ -441,7 +441,7 @@ Per questa equazione è però necessario applicare un metodo più sistematico e
 		x(t) = A e^{- \gamma t} \cos (\omega t + \varphi)
 	\]
 
-	In questo caso l'oscillatore è detto SOTTOSMORZATO o DEBOLMENTE SMORZATO
+	In questo caso l'oscillatore è detto SOTTO-SMORZATO o DEBOLMENTE SMORZATO
 \end{dimJ}
 
 \begin{dimJ}{Trasformazione dell'equazione}{dim:trasformazioneInc}
@@ -501,7 +501,7 @@ Per questa equazione è però necessario applicare un metodo più sistematico e
 
 
 \subsection{Condizioni iniziali}
-Come fatto per l'oscillatore armonico semplice vogliamo trovare un legame tra le condizioni iniziali e i paramentri dell'equazione.
+Come fatto per l'oscillatore armonico semplice vogliamo trovare un legame tra le condizioni iniziali e i parametri dell'equazione.
 \[
 	x(t) = A e^{-\gamma t} \cos (\omega t + \varphi)
 \]
@@ -510,7 +510,7 @@ Come prima valutiamo sia la posizione che la velocità in 0.
 \begin{align*}
 align*	x(0) = A \cos \varphi\\
 	\dert{x} = - \gamma A e^{-\gamma t} \cos (\omega t + \varphi) - \omega A e^{-\gamma t} \sin (\omega t + \varphi)\\
-	\dert{x} (0) = - \gamma A \cos \varphi + - \omega A \sin \varphi 
+	\dert{x} (0) = - \gamma A \cos \varphi + - \omega A \sin \varphi
 \end{align*}
 
 Si nota subito che questa non è una soluzione lineare, ma possiamo fare alcune semplificazioni del nostro sistema:
@@ -538,7 +538,7 @@ Si nota subito che questa non è una soluzione lineare, ma possiamo fare alcune
 
 Ora sommandole otteniamo:
 \[
-	A^2 = x^2(0) + \8 \frac{v(0) + \gamma x(0)}{\omega} \9^2 
+	A^2 = x^2(0) + \8 \frac{v(0) + \gamma x(0)}{\omega} \9^2
 \]
 
 Mentre il rapporto fatto prima di quadrarle ci restituisce:
@@ -573,7 +573,7 @@ Con questa ipotesi vale: $\gamma \cos(\dots) << \omega \sin(\dots)$.
 	K \simeq \frac 1 2 m A^2 e^{- 2 \gamma t} \omega^2 \sin^2(\omega t + \varphi)
 \]
 
-Nell'energia, e non nella fase (in quanto l'errore si accumulerebbe ciclo per ciclo), possiamo approssimare ancora e osservare che se $\gamma << \omega \imp \omega \simeq \omega_p = \frac \alpha m$. 
+Nell'energia, e non nella fase (in quanto l'errore si accumulerebbe ciclo per ciclo), possiamo approssimare ancora e osservare che se $\gamma << \omega \imp \omega \simeq \omega_p = \frac \alpha m$.
 \[
 	K = \frac 1 2 \alpha A^2 e^{-2\gamma t} \sin^2(\omega t + \varphi)
 \]
@@ -590,7 +590,7 @@ Ovviamente questo vale in determinate approssimazioni, infatti non ha senso che
 
 
 \subsection{Seconda approssimazione}
-Poicè abbiamo preso l'andamento oscillatorio dell'energia meccanica vogliamo un approssimazione migliore e più precisa.
+Poiché abbiamo preso l'andamento oscillatorio dell'energia meccanica vogliamo un approssimazione migliore e più precisa.
 Ripartiamo dall'energia:
 \[
 	E_m = K + U = \frac 1 2 m \8 \dert{x} \9^2 + \frac 1 2 \alpha x^2
@@ -619,7 +619,7 @@ Dimostriamolo:
 	dW = F_v dx \imp P_{visc} = \dert{W} = F_v * \dert{x} = - 2 \gamma m \8 \dert{x} \9^2
 \end{align*}
 
-Scrivamo la formula in modo chiaro:
+Scriviamo la formula in modo chiaro:
 \[
 	\dert{E_m} = -2 \gamma m \8 \dert{x} \9^2 = - 2 \gamma m A^2 \omega_p^2 e^{-2\gamma t} \sin^2 (\omega t + \varphi)
 \]
@@ -664,7 +664,7 @@ Tutto quello che resta è soltanto l'onda data dalla forzante.
 
 \begin{dimJ}{Dimostrazione della soluzione, parte 1}{dim:sol}
 	Introduciamo una funzione complessa \(z(t)\) tale che \(x(t)=\Re[z(t)]\).
-	Poiché \(\cos\alpha=\Re(e^{i\alpha})\), l’equazione reale equivale alla parte reale di
+	Poiché \(\cos\alpha=\Re(e^{i\alpha})\), l'equazione reale equivale alla parte reale di
 	\[
 		\dertt{z} + 2\gamma \dert{z} + \omega_p^2 z = \frac{F_0}{m} e^{i\omega_f t}.
 	\]
@@ -694,7 +694,7 @@ Tutto quello che resta è soltanto l'onda data dalla forzante.
 		\dert{z_p} = i\omega_f K e^{i\omega_f t}, \qquad \dertt{z_p} = -\omega_f^2 K e^{i\omega_f t}
 	\]
 
-	Sostituendo nell’equazione complessa:
+	Sostituendo nell'equazione complessa:
 	\[
 		(-\omega_f^2 K + 2 i\gamma\omega_f K + \omega_p^2 K)e^{i\omega_f t} = \frac{F_0}{m} e^{i\omega_f t}
 	\]
@@ -729,13 +729,13 @@ Tutto quello che resta è soltanto l'onda data dalla forzante.
 	\[
 		x(t)=A e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\varphi_0) + B\cos(\omega_f t+\varphi)
 	\]
-	che soddisfa l’equazione originale. CVD.
+	che soddisfa l'equazione originale. CVD.
 \end{dimJ}
 
 
 
 \subsection{Condizioni Iniziali}
-Sfruttiamo i risultati della dimostrazione.  
+Sfruttiamo i risultati della dimostrazione.
 Poniamo ora \(D = \omega_p^2-\omega_f^2 + 2 i \gamma \omega_f\)
 
 Il modulo del denominatore è
@@ -748,22 +748,22 @@ Quindi il modulo di \(K\) è
 	B = \abs{K} = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_p^2 - \omega_f^2)^2 + (2\gamma\omega_f)^2}}
 \]
 
-Scriviamo ora \(K = B e^{i\varphi}\), proprio come nella dimostrazione.  
-Per determinare l’angolo \(\varphi\) osserviamo che \(K\) è il reciproco (a meno di un fattore reale positivo \(F_0/m\)) del numero complesso
+Scriviamo ora \(K = B e^{i\varphi}\), proprio come nella dimostrazione.
+Per determinare l'angolo \(\varphi\) osserviamo che \(K\) è il reciproco (a meno di un fattore reale positivo \(F_0/m\)) del numero complesso
 \[
 	D = a + ib \qquad\text{con}\quad a = \omega_p^2 - \omega_f^2,\quad b = 2\gamma\omega_f
 \]
 
-Il motivo per cui compare il reciproco risulta dalla soluzione particolare: si impone la forma \(z_p(t)=K e^{i\omega_f t}\), la si inserisce nell’equazione differenziale e i termini derivati producono un fattore complesso moltiplicativo che è proprio \(D\).  
-Per soddisfare l’equazione, questo fattore deve essere compensato dividendo per esso, dunque \(K\) è proporzionale a \(1/D\).  
-In altre parole, il numero complesso \(D\) “pesa” la risposta del sistema, e \(K\) deve contenerne il reciproco per annullarlo.
+Il motivo per cui compare il reciproco risulta dalla soluzione particolare: si impone la forma \(z_p(t)=K e^{i\omega_f t}\), la si inserisce nell'equazione differenziale e i termini derivati producono un fattore complesso moltiplicativo che è proprio \(D\).
+Per soddisfare l'equazione, questo fattore deve essere compensato dividendo per esso, dunque \(K\) è proporzionale a \(1/D\).
+In altre parole, il numero complesso \(D\) "pesa" la risposta del sistema, e \(K\) deve contenerne il reciproco per annullarlo.
 
 Il numero \(D = a + ib\) può essere rappresentato come vettore nel piano complesso con una certa lunghezza \(\abs{D}\) e un certo angolo \(\theta\).
 Questo angolo soddisfa:
 \[
 	\tan\theta = \frac{b}{a}
 \]
-perché il rapporto tra parte immaginaria e parte reale è la tangente dell’angolo del vettore.
+perché il rapporto tra parte immaginaria e parte reale è la tangente dell'angolo del vettore.
 
 Dunque possiamo scrivere
 \[
@@ -775,7 +775,7 @@ Il reciproco ha la forma
 	\frac{1}{D} = \frac{1}{\abs{D}} e^{-i\theta}
 \]
 
-Qui si vede immediatamente che il reciproco inverte l’angolo del numero complesso.
+Qui si vede immediatamente che il reciproco inverte l'angolo del numero complesso.
 Otteniamo quindi
 \[
 	\varphi = -\theta = -\arctan\!\left(\frac{2\gamma\omega_f}{\omega_p^2-\omega_f^2}\right)
@@ -787,15 +787,15 @@ Otteniamo quindi
 Compresa la natura delle condizioni iniziali possiamo fare una minima discussione di quello che succede per semplici limiti notevoli.
 
 \subsubsection*{Caso \(\gamma \sim 0\)}
-Quando lo smorzamento è molto piccolo, il termine transitorio decade molto lentamente e il sistema si comporta come un oscillatore quasi conservativo.  
+Quando lo smorzamento è molto piccolo, il termine transitorio decade molto lentamente e il sistema si comporta come un oscillatore quasi conservativo.
 In particolare, nel coefficiente di risposta stazionaria
 \[
 	B = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_p^2 - \omega_f^2)^2 + (2\gamma\omega_f)^2}}
 \]
 
 il termine \(2\gamma\omega_f\) al denominatore diventa trascurabile tranne che in prossimità della risonanza.
-Ne segue che, lontano dalla risonanza, la risposta del sistema è molto piccola, mentre in prossimità di \(\omega_f \sim \omega_p\) il denominatore tende a valori molto bassi e l’ampiezza cresce sensibilmente.  
-Nel limite \(\gamma \to 0\) la risonanza tende a diventare infinitamente “stretta” e il sistema oscilla con ampiezza molto grande quando la frequenza di forzamento coincide con quella naturale.
+Ne segue che, lontano dalla risonanza, la risposta del sistema è molto piccola, mentre in prossimità di \(\omega_f \sim \omega_p\) il denominatore tende a valori molto bassi e l'ampiezza cresce sensibilmente.
+Nel limite \(\gamma \to 0\) la risonanza tende a diventare infinitamente "stretta" e il sistema oscilla con ampiezza molto grande quando la frequenza di forzamento coincide con quella naturale.
 
 \subsubsection*{Caso \(\omega_f \sim \omega_p\)}
 Quando la frequenza di forzamento si avvicina alla frequenza naturale, il termine
@@ -806,8 +806,8 @@ nel denominatore della risposta si riduce drasticamente. Il valore di \(B\) dive
 \[
 	(2\gamma\omega_f)^2
 \]
-e ciò porta a un picco di ampiezza attorno alla risonanza.  
-Per \(\gamma\) piccolo, questo picco è particolarmente accentuato e la curva della risposta assume la tipica forma risonante molto appuntita.  
+e ciò porta a un picco di ampiezza attorno alla risonanza.
+Per \(\gamma\) piccolo, questo picco è particolarmente accentuato e la curva della risposta assume la tipica forma risonante molto appuntita.
 In sintesi, per \(\omega_f \sim \omega_p\) la risposta del sistema è grande e dominata quasi completamente dal regime forzato, mentre il transitorio diventa trascurabile dopo tempi brevi.
 
 \subsubsection*{Comportamento di \(\varphi\) per \(\omega_f \sim \omega_p\)}
@@ -816,15 +816,15 @@ La fase si ottiene da
 	\varphi = - \arctan\!\left(\frac{2\gamma\omega_f}{\omega_p^2 - \omega_f^2}\right)
 \]
 
-Quando \(\omega_f\) si avvicina a \(\omega_p\), il termine \(\omega_p^2 - \omega_f^2\) tende a zero e il rapporto nella tangente diventa molto grande.  
-Ciò implica che l’angolo tende a
+Quando \(\omega_f\) si avvicina a \(\omega_p\), il termine \(\omega_p^2 - \omega_f^2\) tende a zero e il rapporto nella tangente diventa molto grande.
+Ciò implica che l'angolo tende a
 \[
 	\varphi \to -\frac{\pi}{2}
 \]
-poiché la tangente cresce senza limite e l’arctangente tende a \(\pm \pi/2\) a seconda del segno.  
-Nel caso tipico con \(\gamma > 0\) e \(\omega_f\) crescente verso \(\omega_p\), l’argomento è positivo e dunque la fase risulta negativa e vicina a \(-\pi/2\).
+poiché la tangente cresce senza limite e l'arcotangente tende a \(\pm \pi/2\) a seconda del segno.
+Nel caso tipico con \(\gamma > 0\) e \(\omega_f\) crescente verso \(\omega_p\), l'argomento è positivo e dunque la fase risulta negativa e vicina a \(-\pi/2\).
 
-Fisicamente questo significa che, in prossimità della risonanza, l’oscillazione imposta dal forzamento è in ritardo di un quarto di periodo rispetto alla forza esterna, comportamento caratteristico degli oscillatori debolmente smorzati.
+Fisicamente questo significa che, in prossimità della risonanza, l'oscillazione imposta dal forzamento è in ritardo di un quarto di periodo rispetto alla forza esterna, comportamento caratteristico degli oscillatori debolmente smorzati.
 Si dice che oscillazione e forzamento sono in quadratura di fase.
 
 
@@ -840,7 +840,7 @@ Come sempre sappiamo:
 \[
 	E_m = K + U \qquad
 	K = \frac 1 2 m \8\dert{x} \9^2 \quad
-	U = \frac 1 2 \alpha x^2 
+	U = \frac 1 2 \alpha x^2
 \]
 
 Facciamo la derivata della soluzione:
@@ -850,8 +850,8 @@ Facciamo la derivata della soluzione:
 
 Sostituendo otteniamo:
 \[
-	K = \frac 1 2 m B^2 \omega^2 \sin^2(\omega t + \varphi) \quad 
-	U = \frac 1 2 \alpha B^2 \cos^2(\omega t + \varphi) 
+	K = \frac 1 2 m B^2 \omega^2 \sin^2(\omega t + \varphi) \quad
+	U = \frac 1 2 \alpha B^2 \cos^2(\omega t + \varphi)
 \]
 
 Ricordiamo che \(\omega_p^2 = \frac \alpha m \imp \alpha = \omega_p^2 m\).
@@ -885,7 +885,7 @@ L'oscillatore è quindi un moto perpetuo, ma questo non va contro le leggi della
 \section{Sistemi a più gradi di libertà}
 Partiamo da un modello molto semplice: 2 pendoli legati da una molla.
 I 2 pendoli sarebbero totalmente indipendenti se non fosse per la molla.
-Facciamo un po' di nomencatura:
+Facciamo un po' di nomenclatura:
 \begin{itemize}
 	\item $m$: massa delle molle
 	\item $K$: costante elastica della molla
@@ -897,16 +897,16 @@ Facciamo un po' di nomencatura:
 Possiamo scrivere:
 \[
 	F_1 = - \frac{mg}{l} x_1 - K(x_1 - x_2) \qquad
-	F_2 = - \frac{mg}{l} x_2 - K(x_2 - x_1) 
+	F_2 = - \frac{mg}{l} x_2 - K(x_2 - x_1)
 \]
 
 Scriviamo le equazioni del moto per le 2 masse:
 \[
 	m \dertt{x_1} = - \frac{mg}{l} x_1 - K(x_1 - x_2) \qquad
-	m \dertt{x_2} = - \frac{mg}{l} x_2 - K(x_2 - x_1) 
+	m \dertt{x_2} = - \frac{mg}{l} x_2 - K(x_2 - x_1)
 \]
 
-Sommiamo e sotraiamo le 2 equazioni:
+Sommiamo e sottraiamo le 2 equazioni:
 \begin{align*}
 	m \8 \dertt{x_1} + \dertt{x_2} \9 = - \frac{mg}{l} (x_1 + x_2)\\
 	m \8 \dertt{x_1} - \dertt{x_2} \9 = - \frac{mg}{l} (x_1 - x_2) - 2 K (x_1 - x_2)
@@ -928,7 +928,7 @@ Queste sono equazioni sono indipendenti e sappiamo come risolverle.
 Le soluzioni sono quindi:
 \[
 	u_a = A_a \cos(\omega_a t + \varphi_a) \qquad
-	u_b = A_b \cos(\omega_b t + \varphi_b) 
+	u_b = A_b \cos(\omega_b t + \varphi_b)
 \]
 
 Ora noi dobbiamo tornare indietro a $x_1$, $x_2$.
@@ -940,7 +940,7 @@ Ora noi dobbiamo tornare indietro a $x_1$, $x_2$.
 Abbiamo completato lo studio del sistema.
 Se osserviamo i moti dei pendoli questi sono la sovrapposizione di 2 moti semplici.
 Nel modo $u_a$ le 2 masse si muovono insieme e la molla non fa nulla, mentre nel modo $u_b$ i pendoli si contraggono e si aprono in modo simmetrico.
-Il nostro moto complesso diventa facile da studiare se pensato come la sovrapposizione di 2 moti disitinti e indipendenti.
+Il nostro moto complesso diventa facile da studiare se pensato come la sovrapposizione di 2 moti distinti e indipendenti.
 Questi sono chiamati MODI NORMALI, nel caso specifico informalmente sono chiamati modo a pendolo e modo a respiro.
 
 
@@ -952,8 +952,8 @@ Pendiamo l'esempio precedente e caliamoci nel caso specifico dove il pendolo par
 	x_2(0) = 0
 \]
 
-Se noi vogliamo studiare quello che stà succdedendo dobbiamo scomporre la nostra condizione iniziale nei 2 modi semplici.
-Facciamo una prova ragionata: prendendo il modo a pendolo e mettendolo a $-A$ avremmo che 
+Se noi vogliamo studiare quello che sta succedendo dobbiamo scomporre la nostra condizione iniziale nei 2 modi semplici.
+Facciamo una prova ragionata: prendendo il modo a pendolo e mettendolo a $-A$ avremmo che
 \[
 		x_1(0) = -A \qquad
 		x_2(0) = -A
@@ -977,11 +977,11 @@ Abbiamo quindi scomposto il caso iniziale nei suoi 2 modi normali.
 	\omega_b = \sqrt{\frac g l + 2 \frac k m}
 \]
 
-Se osserviamo il moto della massa 1 $x_1$ ci accorigamo che è la somma di 2 oscillazioni simili ma non uguali.
+Se osserviamo il moto della massa 1 $x_1$ ci accorgiamo che è la somma di 2 oscillazioni simili ma non uguali.
 L'effetto prodotto è quello di un oscillazione che ogni tanto interferisce in modo costruttivo ed ogni tanto in modo distruttivo.
 Questo fenomeno si chiamano BATTIMENTI.
 \[
-	x_1(t) = C_a \cos(\omega_a t + \varphi_a) + C_b \cos(\omega_b t + \varphi_b) 
+	x_1(t) = C_a \cos(\omega_a t + \varphi_a) + C_b \cos(\omega_b t + \varphi_b)
 \]
 
 Nel caso specifico: $\varphi_a = \varphi_b = 0$, $C_a=C_b$:
@@ -992,10 +992,11 @@ Nel caso specifico: $\varphi_a = \varphi_b = 0$, $C_a=C_b$:
 Usiamo le formule di Prostaferesi:
 \[
 	\cos\alpha + \cos\beta = 2 \cos\!\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\!\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \qquad
-	\alpha = \omega_a t \quad \beta = \omega_b t
+	\alpha = \omega_a t \quad
+	\beta = \omega_b t
 \]
 
-Definiamo 2 variabili con nomi che sembrano casuali, ma diventerranno chiari:
+Definiamo 2 variabili con nomi che sembrano casuali, ma diventeranno chiari:
 \[
 	\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\omega_a + \omega_b}{2} t = \omega_M t \qquad
 	\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{\omega_a - \omega_b}{2} t = \omega_{inv} t
@@ -1006,8 +1007,1709 @@ Ne risulta che:
 	x_1(t) = 2 \cos(\omega_M t) \cos(\omega_{inv} t)
 \]
 
-Risuta chiaro che $\omega_{inv} << \omega_M$.
+Risulta chiaro che $\omega_{inv} << \omega_M$.
 Se noi grafichiamo questo andamento ci accorgeremmo che $\omega_{inv}$ rappresenta l'inviluppo della curva,
 mentre $\omega_M$ le oscillazioni più piccole che avvengono nel "range" definito dall'inviluppo.
 
+
+
+\section{Due masse collegate da tre molle}
+Consideriamo ora un sistema più semplice rispetto ai pendoli sempre con 2 gradi di libertà.
+Abbiamo due masse identiche collegate da tre molle tutte uguali tra loro.
+Il moto avviene nel piano e assumiamo la condizione di piccoli spostamenti verticali rispetto alla distanza di riposo:
+\[
+	\frac{y_i}{a} \ll 1
+\]
+
+Definiamo:
+\begin{itemize}
+	\item $m$: massa delle due masse
+	\item $K$: costante elastica delle tre molle
+	\item $a$: distanza di riposo tra gli attacchi delle molle
+	\item $y_1$: spostamento verticale della massa 1
+	\item $y_2$: spostamento verticale della massa 2
+\end{itemize}
+
+Nel limite degli angoli piccoli valgono le approssimazioni:
+\[
+	\sin\theta \simeq \theta \simeq \tan\theta
+\]
+
+Tutte le componenti orizzontali delle forze risultano di ordine superiore e quindi trascurabili.
+La tensione nelle molle in equilibrio vale $T_0 = Ka$.
+Quando il sistema viene deformato, le componenti verticali delle tensioni generano le forze risultanti.
+
+\subsection{Forze sulle masse}
+Per la massa 1 le due molle (una verso la parete e una verso la massa 2) danno contributi:
+\[
+	F_{1y} = - T_0 \frac{y_1}{a} - T_0 \frac{y_1 - y_2}{a}
+\]
+
+Per la massa 2 otteniamo:
+\[
+	F_{2y} = - T_0 \frac{y_2}{a} - T_0 \frac{y_2 - y_1}{a}
+\]
+
+Scriviamo le equazioni del moto:
+\begin{align*}
+	m \dertt{y_1} &= - 2 \frac{T_0}{a} y_1 + \frac{T_0}{a} y_2 \\
+	m \dertt{y_2} &= - 2 \frac{T_0}{a} y_2 + \frac{T_0}{a} y_1
+\end{align*}
+
+Queste equazioni sono accoppiate come nel caso dei pendoli.
+
+\subsection{Combinazioni simmetrica e antisimmetrica}
+Sommiamo e sottraiamo le due equazioni:
+\[
+	\dertt{(y_1 + y_2)} = - \frac{T_0}{ma} (y_1 + y_2)
+\]
+\[
+	\dertt{(y_1 - y_2)} = - 3 \frac{T_0}{ma} (y_1 - y_2)
+\]
+
+Introduciamo le variabili:
+\[
+	u_a = y_1 + y_2 \qquad
+	u_b = y_1 - y_2
+\]
+
+Otteniamo due oscillatori disaccoppiati:
+\begin{align*}
+	\dertt{u_a} + \omega_a^2 u_a &= 0 \qquad \omega_a^2 = \frac{T_0}{ma} \\
+	\dertt{u_b} + \omega_b^2 u_b &= 0 \qquad \omega_b^2 = 3 \frac{T_0}{ma}
+\end{align*}
+
+Le soluzioni generali sono:
+\[
+	u_a = A_a \cos(\omega_a t + \varphi_a) \qquad
+	u_b = A_b \cos(\omega_b t + \varphi_b)
+\]
+
+Riscriviamo $y_1$ e $y_2$:
+\begin{align*}
+	y_1(t) &= \frac{u_a + u_b}{2} \\
+	y_2(t) &= \frac{u_a - u_b}{2}
+\end{align*}
+
+\subsection{Interpretazione fisica dei modi}
+Come nel caso dei pendoli, i modi normali hanno una chiara interpretazione:
+
+\paragraph{Modo simmetrico $u_a$}
+\[
+	y_1 = y_2
+\]
+Le masse oscillano insieme.
+La molla centrale non si deforma e non modifica la tensione.
+
+\paragraph{Modo antisimmetrico $u_b$}
+\[
+	y_1 = - y_2
+\]
+Le masse oscillano in opposizione di fase e la molla centrale si allunga e si accorcia durante il moto.
+La frequenza è maggiore perché intervengono tre molle invece di una sola.
+
+\subsection{Generalizzazione e limite continuo}
+Un sistema con $N$ gradi di libertà possiede esattamente $N$ modi normali.
+Ogni configurazione del moto può essere scritta come combinazione lineare dei modi.
+
+Aumentando il numero delle masse:
+\begin{itemize}
+	\item il primo modo è sempre quello a frequenza più bassa e con tutte le masse in fase
+	\item gli altri modi presentano un numero crescente di inversioni di fase
+\end{itemize}
+
+Nel limite $N \to \infty$ otteniamo una corda continua con infiniti modi normali:
+\[
+	\text{modo fondamentale}, \quad \text{secondo modo}, \quad \text{terzo modo}, \dots
+\]
+Ogni oscillazione possibile della corda può essere espressa come combinazione lineare dei suoi modi normali.
+Questo principio è alla base della decomposizione di Fourier e della descrizione ondulatoria dei sistemi con infiniti gradi di libertà.
+\begin{comment}
+
+\section{Dai sistemi discreti al continuo}
+Vogliamo ora fare un passo ulteriore: passare dal caso discreto ad un sistema continuo.
+Per farlo consideriamo una catena di masse uguali collegate da molle identiche, una ''catena'' di masse e molle, che può essere pensata come un modello di una corda elastica.
+
+Riprendiamo la configurazione di riferimento.
+La massa generica la indichiamo con indice $i$, mentre le due masse adiacenti si trovano nelle posizioni $i-1$ e $i+1$.
+Indichiamo con $y_i(t)$ lo spostamento della massa $i$ lungo la direzione verticale.
+
+Le forze elastiche che agiscono sulla massa $i$ dipendono solo dagli allungamenti delle due molle adiacenti.
+Possiamo quindi scrivere la forza risultante:
+\[
+	F_i = - T_0 \8 y_i - y_{i-1} \9 - T_0 \8 y_i - y_{i+1} \9
+\]
+
+$T_0$ rappresenta la costante elastica equivalente delle molle.
+Raccogliendo i termini:
+\[
+	F_i = - T_0 \8 - y_{i-1} + 2 y_i - y_{i+1} \9
+\]
+
+Applicando la seconda legge di Newton otteniamo l'equazione del moto per la massa $i$:
+\[
+	m \dertt{y_i} = - T_0 \8 - y_{i-1} + 2 y_i - y_{i+1} \9
+\]
+
+Questa è una relazione ricorsiva che vale per qualsiasi massa della catena.
+
+\subsection{Passaggio al continuo}
+Ora immaginiamo che le masse siano sempre più vicine tra loro, separate da una distanza $a$.
+Definiamo la variabile spaziale continua $x$ tale che:
+\[
+	y_i(t) \to y(x,t) \qquad
+	y_{i-1}(t) \to y(x - a, t) \qquad
+	y_{i+1}(t) \to y(x + a, t)
+\]
+
+L'equazione del moto diventa quindi:
+\[
+	\dertt{y(x,t)} = - \frac{T_0}{m} \8 - y(x - a,t) + 2 y(x,t) - y(x + a,t) \9
+\]
+
+A questo punto sfruttiamo che $a$ è molto piccolo rispetto alla lunghezza d'onda delle oscillazioni che ci interessano.
+Possiamo quindi espandere $y(x \pm a, t)$ in serie di Taylor:
+
+\begin{align*}
+	y(x + a,t) &= y(x,t) + \derx{y}(x,t)\, a + \frac12 \derxx{y}(x,t)\, a^2\\
+	y(x - a,t) &= y(x,t) - \derx{y}(x,t)\, a + \frac12 \derxx{y}(x,t)\, a^2
+\end{align*}
+
+Sostituendo nell'equazione del moto e osservando che i termini lineari in $a$ si cancellano:
+\[
+	- y(x-a,t) + 2y(x,t) - y(x+a,t) = - \derxx{y}(x,t)\, a^2
+\]
+
+L'equazione del moto diventa:
+\[
+	\dertt{y} = \frac{T_0}{m} a^2 \derxx{y}
+\]
+
+Introduciamo ora la densità lineare di massa:
+\[
+	\rho_l = \frac{m}{a}
+\]
+
+Da cui:
+\[
+	\frac{T_0}{m} a^2 = \frac{T_0}{\rho_l}
+\]
+
+Otteniamo così la forma finale dell'equazione:
+\[
+	\dertt{y(x,t)} = \frac{T_0}{\rho_l} \derxx{y(x,t)}
+\]
+
+Questa è l' \textbf{equazione d'onda unidimensionale}, chiamata anche equazione di d'Alembert.
+
+\[
+	\dertt{y} = v^2 \derxx{y} \qquad
+	v = \sqrt{\frac{T_0}{\rho_l}}
+\]
+
+La quantità $v$ rappresenta la velocità di propagazione delle onde lungo la corda.
+Questa equazione è fondamentale perché descrive:
+
+\begin{itemize}
+	\item le onde meccaniche sulle corde
+	\item le onde sonore in una dimensione
+	\item la propagazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto (in forma vettoriale)
+	\item le onde gravitazionali nel limite di campo debole
+\end{itemize}
+
+La soluzione generale di questa equazione è una funzione che si propaga senza deformarsi:
+\[
+	y(x,t) = f(x - vt) + g(x + vt)
+\]
+
+Questo rappresenta 2 onde che si muovono in direzioni opposte con velocità $v$.
+\end{comment}
+
+
+\section{Derivazione continua dell'equazione d'onda}
+Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come, aumentando il numero di gradi di libertà, aumenti anche il numero dei modi normali.
+Nel caso di due pendoli collegati da una molla avevamo due modi: il modo a pendolo e il modo a respiro.
+Ora vogliamo capire che cosa accade quando portiamo il numero di gradi di libertà a valori molto grandi fino ad avvicinarci ad un sistema continuo.
+
+Per motivarci partiamo dal modello già affrontato: masse collegate da molle.
+Generalizziamo la configurazione precedente considerando non soltanto due masse collegate, ma una sequenza molto lunga di masse tutte uguali collegate fra loro da molle identiche.
+Pensiamo a una "collana di perle" infilate su un elastico.
+
+\subsection{Ipotesi fisiche fondamentali}
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{Corda perfettamente flessibile}: non oppone resistenza alla curvatura, non esiste rigidità intrinseca.
+	\item \textbf{Tensione uniforme}: la tensione interna è ovunque uguale a $T_0$ e non cambia durante l'oscillazione.
+	\item \textbf{Oscillazioni piccole}:
+	\[
+		\abs{\derx{\psi}} \ll 1
+	\]
+	Questa condizione implica che gli angoli $\alpha$ e $\beta$ formati dall'elemento di corda con l'orizzontale siano piccoli.
+	\item \textbf{Inestensibilità al primo ordine}: la lunghezza reale di un elemento $d\ell$ coincide con $dx$ al primo ordine.
+	Infatti:
+	\[
+		d\ell = dx \sqrt{1 + \8 \derx{\psi} \9^2} \simeq dx
+	\]
+	Il termine di ordine secondo $\8\derx{\psi}\9^2$ è trascurabile.
+	\item \textbf{Gravità trascurabile}: la tensione è molto maggiore del peso per unità di lunghezza, così la componente verticale della tensione compensa l'eventuale contributo gravitazionale.
+\end{itemize}
+
+Queste ipotesi definiscono il regime di validità dell'equazione d'onda per una corda.
+
+\subsection*{Forza sulla massa generica}
+Indichiamo con $y_i(t)$ lo spostamento verticale della massa $i$.
+Le masse adiacenti esercitano forze elastiche pari alla costante elastica $T_0$ moltiplicata per l'allungamento relativo.
+Nel caso iniziale la massa 1 sentiva:
+\[
+	F_1 = - T_0 \8 y_1 - y_0 \9 - T_0 \8 y_1 - y_2 \9
+\]
+
+$y_0$ è lo spostamento della massa alla sua sinistra e $y_2$ quello della massa a destra.
+
+Generalizzando alla massa $i$:
+\[
+	F_i = - T_0 \8 y_i - y_{i-1} \9 - T_0 \8 y_i - y_{i+1} \9
+\]
+
+Raccogliendo:
+\[
+	F_i = - T_0 \8 - y_{i-1} + 2 y_i - y_{i+1} \9
+\]
+
+Applicando Newton:
+\[
+	m \dertt{y_i} = - T_0 \8 - y_{i-1} + 2 y_i - y_{i+1} \9
+\]
+
+Questa equazione è valida per quasi qualsiasi massa della catena ed è la forma discreta dell'equazione del moto.
+
+\subsection{Passaggio alla descrizione spaziale continua}
+Introduciamo la distanza costante $a$ tra una massa e la successiva.
+Se la catena è molto fitta possiamo pensare che la coordinata della massa $i$ sia:
+\[
+	x = i a
+\]
+
+In questo modo:
+\[
+	y_i(t) \to y(x,t) \qquad
+	y_{i-1}(t) \to y(x - a, t) \qquad
+	y_{i+1}(t) \to y(x + a, t)
+\]
+
+Sostituendo:
+\[
+	\dertt{y(x,t)} = - \frac{T_0}{m} \8 - y(x - a, t) + 2 y(x,t) - y(x + a, t) \9
+\]
+
+Fino a qui non è stata fatta alcuna approssimazione: questa scrittura è ancora esatta per qualsiasi valore di $a$.
+
+\subsection{Espansione di Taylor per a piccolo}
+Ora usiamo l'ipotesi fondamentale del passaggio al continuo: la separazione $a$ tra le masse è molto più piccola della lunghezza d'onda delle oscillazioni che vogliamo descrivere.
+
+Espandiamo attorno a $x$:
+\[
+	y(x + a,t) = y(x,t) + \derx{y}(x,t)\, a + \frac12 \derxx{y}(x,t)\, a^2
+\]
+
+\[
+	y(x - a,t) = y(x,t) - \derx{y}(x,t)\, a + \frac12 \derxx{y}(x,t)\, a^2
+\]
+
+Sostituiamo nella combinazione dell'equazione discreta:
+\[
+	- y(x-a,t) + 2 y(x,t) - y(x+a,t)
+\]
+
+Sostituendo esplicitamente:
+\begin{align*}
+	- y(x-a,t) &= - y(x,t) + \derx{y}(x,t) a - \frac12 \derxx{y}(x,t) a^2 \\
+	2 y(x,t) &= 2 y(x,t) \\
+	- y(x+a,t) &= - y(x,t) - \derx{y}(x,t) a - \frac12 \derxx{y}(x,t) a^2
+\end{align*}
+
+Sommiamo tutto con estrema attenzione:
+\[
+	- y(x,t) + \derx{y}\, a - \frac12 \derxx{y}\, a^2 + 2 y(x,t) - y(x,t) - \derx{y} a - \frac12 \derxx{y}\, a^2
+\]
+
+Osserviamo:
+- i termini $y(x,t)$ si cancellano completamente
+- i termini lineari $\derx{y} a$ si cancellano
+- rimangono solo i termini quadratici:
+\[
+	- \derxx{y}(x,t) a^2
+\]
+
+Dunque:
+\[
+	- y(x-a,t) + 2 y(x,t) - y(x+a,t) = - a^2 \derxx{y}(x,t)
+\]
+
+Sostituendo nell'equazione del moto:
+\[
+	\dertt{y(x,t)} = \frac{T_0}{m} a^2 \derxx{y(x,t)}
+\]
+
+\subsection{Introduzione della densità lineare}
+Siccome il sistema si sta avvicinando a un continuo, introduciamo la densità lineare di massa:
+\[
+	\rho_l = \frac{m}{a}
+\]
+
+Da cui:
+\[
+	\frac{T_0}{m} a^2 = \frac{T_0}{\rho_l}
+\]
+
+L'equazione diventa:
+\[
+	\dertt{y(x,t)} = \frac{T_0}{\rho_l} \derxx{y(x,t)}
+\]
+
+Questa è la celeberrima \textbf{equazione d'onda unidimensionale}, o equazione di d'Alembert:
+\[
+	\dertt{y} = v^2 \derxx{y} \qquad
+	v = \sqrt{\frac{T_0}{\rho_l}}
+\]
+
+\subsection{Significato fisico}
+L'equazione mostra che la forza che agisce su un punto della corda è proporzionale alla sua \textbf{curvatura} $\derxx{\psi}$:
+
+- maggiore curvatura $\Rightarrow$ maggiore forza di richiamo
+
+- il moto risultante è una perturbazione che si propaga con velocità costante $v$
+
+La soluzione generale è la somma di due onde che viaggiano in direzioni opposte:
+\[
+	\psi(x,t) = f(x - vt) + g(x + vt)
+\]
+
+dove $f$ e $g$ sono determinate dalle condizioni iniziali.
+
+
+
+\section{Struttura dell'equazione d'onda}
+Ora che abbiamo ottenuto l'equazione di d'Alembert per una corda vibrante, vogliamo capire in modo più profondo che cosa essa stia descrivendo.
+Ricordiamo la forma generale:
+\[
+	\dertt{\psi(x,t)} = \frac{T_0}{\rho_l} \derxx{\psi(x,t)}
+\]
+
+Questa è una \textbf{equazione differenziale alle derivate parziali} del secondo ordine.
+La nostra incognita non è più una funzione di una sola variabile, come nello studio dell'oscillatore armonico, ma una funzione di due variabili indipendenti: lo spazio $x$ e il tempo $t$.
+
+\subsection{Significato delle derivate parziali}
+In una funzione $\psi(x,t)$ le derivate parziali vengono effettuate tenendo costante una delle due variabili.
+Per comprenderne il significato:
+\begin{itemize}
+	\item $\derx{\psi}$ è la pendenza del profilo della corda fissato un certo istante $t$
+	\item $\dert{\psi}$ è la velocità di uno specifico punto della corda, fissata una certa posizione $x$
+	\item $\derxx{\psi}$ misura la \textbf{curvatura} della corda nel punto $x$
+	\item $\dertt{\psi}$ è l'accelerazione del punto $x$ della corda
+\end{itemize}
+
+È dunque un'equazione che collega accelerazione e curvatura.
+Dal punto di vista fisico questo è esattamente ciò che ci si aspetta: quando il profilo della corda è incurvato, la tensione interna produce una forza che riporta il sistema verso la forma rettilinea.
+
+\subsection{Proprietà dell'equazione}
+Osserviamo alcune caratteristiche fondamentali:
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{Equazione lineare}: compaiono solo derivate lineari della funzione incognita.
+	Ne segue immediatamente il \textbf{principio di sovrapposizione}: se $\psi_1$ e $\psi_2$
+	sono soluzioni, qualunque combinazione lineare $a \psi_1 + b \psi_2$ è ancora una soluzione.
+	Questo sarà essenziale quando introdurremo i modi normali della corda.
+	\item \textbf{Equazione omogenea}: non è presente alcun termine dipendente solo da $x$ e $t$.
+	Questo significa che la corda non è soggetta a forzanti esterne durante l'evoluzione.
+	\item \textbf{Equazione del secondo ordine}: compaiono derivate seconde sia rispetto allo spazio
+	sia rispetto al tempo. Le condizioni iniziali e al contorno dovranno essere fornite di
+	conseguenza.
+\end{itemize}
+
+\subsection{Interpretazione fisica: il ruolo della curvatura}
+Riscriviamo l'equazione in forma più compatta introducendo il parametro:
+\[
+	v = \sqrt{\frac{T_0}{\rho_l}}
+\]
+
+Abbiamo ricavato come velocità caratteristica del mezzo.
+Allora:
+\[
+	\dertt{\psi} = v^2 \derxx{\psi}
+\]
+
+La parte sinistra rappresenta l'accelerazione verticale del punto di corda in $x$.
+La parte destra rappresenta la curvatura locale del profilo, moltiplicata per la quantità $v^2$ che ha le dimensioni di una velocità al quadrato.
+
+Una curvatura positiva implica un'accelerazione che riporta la corda verso la posizione di equilibrio, proprio come accadrebbe per un oscillatore armonico.
+Questo non è sorprendente: abbiamo visto esplicitamente che la corda continua può essere pensata come il limite di un sistema di infiniti oscillatori armonici accoppiati.
+L'equazione d'onda è quindi la loro sintesi.
+
+\subsection{Analisi dimensionale}
+Per comprendere meglio il significato del parametro $v$, osserviamo le sue dimensioni:
+\[
+	[T_0] = \text{forza} = \text{kg m s}^{-2} \qquad
+	[\rho_l] = \text{kg m}^{-1}
+\]
+
+quindi:
+\[
+	\frac{T_0}{\rho_l} = \frac{\text{kg m s}^{-2}}{\text{kg m}^{-1}} = \text{m}^2 \text{s}^{-2}
+\]
+
+ovvero:
+\[
+	\sqrt{\frac{T_0}{\rho_l}} = \text{velocità}
+\]
+
+Questo conferma che $v$ rappresenta la velocità con cui una perturbazione si propaga lungo la corda.
+Si tratta dunque della \textbf{velocità di propagazione dell'onda meccanica} in quel mezzo.
+
+\subsection{Spazio e tempo non sono indipendenti nella soluzione}
+L'equazione d'onda impone un vincolo molto forte sulla forma delle soluzioni: non è possibile combinare $x$ e $t$ in modo arbitrario.
+Affinché la relazione
+\[
+	\dertt{\psi} = v^2 \derxx{\psi}
+\]
+
+sia soddisfatta, la funzione $\psi$ deve dipendere da $x$ e $t$ attraverso combinazioni del tipo:
+\[
+	x - v t \qquad x + v t
+\]
+
+Lo vedremo in modo rigoroso quando cercheremo la soluzione generale.
+Per ora è importante intuire che la soluzione ha la forma di una perturbazione che si \textbf{sposta rigidamente} lungo l'asse $x$, con velocità costante $v$.
+
+\subsection{Condizioni iniziali e condizioni al contorno}
+Poiché l'equazione è del secondo ordine in entrambe le variabili, occorrono:
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{due condizioni iniziali} per ogni punto dello spazio:
+	\[
+		\psi(x,0) \qquad \dot\psi(x,0)
+	\]
+	che specificano la forma iniziale della corda e la velocità iniziale di ogni suo punto
+	\item \textbf{due condizioni al contorno} per determinare completamente la soluzione nel caso
+	di una corda di lunghezza finita
+\end{itemize}
+
+Il caso più importante, e quello che studieremo, è quello della corda con estremi fissi:
+\[
+	\psi(0,t) = 0 \qquad \psi(L,t) = 0
+\]
+
+che darà luogo all'emergere di modi normali perfettamente analogo al caso discreto.
+
+\subsection{La costante v come legame con i modi normali}
+Il parametro $v^2$ determina il legame tra accelerazione e curvatura.
+Nel caso discreto avevamo:
+\[
+	m \dertt{x_i} = - k \8 x_i - x_{i-1} \9 - k \8 x_i - x_{i+1} \9
+\]
+
+Nel limite continuo, è divenuto proprio l'equazione d'onda.
+Ci aspettiamo quindi che le soluzioni siano combinazioni di modi normali, ciascuno con la propria frequenza, e che tali modi costituiscano una base completa delle soluzioni.
+
+
+
+\section{La velocità di propagazione e il legame con i modi normali}
+Riprendiamo il ragionamento interrotto: abbiamo osservato che il coefficiente che lega $\dertt{\psi}$ a $\derxx{\psi}$, cioè il rapporto $\frac{T_0}{\rho_l}$, possiede le dimensioni di una velocità al quadrato.
+Definendo:
+\[
+	v = \sqrt{\frac{T_0}{\rho_l}}
+\]
+
+Otteniamo l'equazione d'onda nella forma compatta:
+\[
+	\dertt{\psi} = v^2 \derxx{\psi}
+\]
+
+Ora vogliamo capire che ruolo giochi questa quantità $v$.
+Per farlo torniamo per un attimo al caso degli oscillatori armonici accoppiati.
+
+\subsection{Dalla catena discreta al continuo: interpretazione unitaria}
+Nel caso discreto, per una catena di masse collegate da molle, avevamo equazioni del moto del tipo:
+\[
+	m \dertt{y_i} = - k \8 2 y_i - y_{i-1} - y_{i+1} \9
+\]
+
+Abbiamo visto che le soluzioni generali erano combinazioni di modi normali, ciascuno con una propria frequenza caratteristica, determinata dalla struttura della catena.
+Ogni modo era un'oscillazione collettiva in cui tutte le masse oscillavano alla stessa frequenza, pur muovendosi con ampiezze relative diverse.
+
+Nel limite in cui rendiamo la distanza tra le masse sempre più piccola e il numero delle masse tende all'infinito, questo insieme di modi discreti diventa un insieme continuo di modi.
+Il passaggio:
+\[
+	y_{i \pm 1} \to y(x \pm a) \qquad
+	a \to 0
+\]
+
+Ci ha portati, attraverso l'espansione di Taylor, all'equazione d'onda.
+L'operatore discreto
+\[
+	y_{i+1} - 2 y_i + y_{i-1}
+\]
+
+si è trasformato nella curvatura $\derxx{\psi}$.
+
+Questo ci dice che la struttura profonda dell'equazione d'onda è la stessa del sistema di oscillatori accoppiati: la corda continua non è altro che un numero infinito di oscillatori armonici accoppiati infinitamente vicini.
+
+\subsection{Trama fisica dell'equazione d'onda}
+Adesso possiamo interpretare in modo intuitivo la forma dell'equazione:
+\[
+	\dertt{\psi} = v^2 \derxx{\psi}
+\]
+
+La derivata seconda spaziale misura quanto la corda è incurvata.
+Se la corda è localmente curva, allora la tensione produce una forza di richiamo diretta verso la posizione rettilinea.
+L'accelerazione risultante è esattamente $\dertt{\psi}$.
+
+Il fatto che la costante di proporzionalità sia $v^2$ indica che la risposta dinamica della corda dipende dalle sue proprietà:
+\begin{itemize}
+	\item la tensione $T_0$ stabilisce quanto la corda ''tira'' per tornare in equilibrio
+	\item la densità lineare $\rho_l$ stabilisce quanta massa viene accelerata
+\end{itemize}
+Una tensione maggiore produce onde più veloci, una densità lineare maggiore le rallenta.
+
+\subsection{La natura propagativa delle soluzioni}
+Una conseguenza straordinaria dell'equazione d'onda è che spazio e tempo non possono entrare nella soluzione in modo arbitrario.
+La funzione $\psi$ deve dipendere da $x$ e $t$ attraverso combinazioni del tipo:
+\[
+	x - v t \qquad x + v t
+\]
+
+e questo non è un caso: sono proprio questi due argomenti a rappresentare onde che si propagano senza deformarsi verso destra e verso sinistra.
+
+La forma più generale delle soluzioni è infatti:
+\[
+	\psi(x,t) = f(x - v t) + g(x + v t)
+\]
+
+dove $f$ e $g$ sono funzioni arbitrarie determinate dalla configurazione iniziale della corda.
+
+Questo risultato può sembrare sorprendente, ma segue direttamente dal fatto che:
+\[
+	\dertt{\psi} = v^2 \derxx{\psi}
+\]
+
+impone che ogni ''pezzo'' della perturbazione si muova con velocità costante $v$, esattamente come se l'intero profilo della corda fosse trascinato rigidamente lungo l'asse $x$.
+
+\subsection{Il ruolo delle condizioni iniziali e delle condizioni al contorno}
+A differenza dello oscillatore armonico, qui abbiamo una funzione di due variabili.
+Per determinare completamente la soluzione servono:
+\begin{itemize}
+	\item \textbf{due condizioni iniziali}
+	\[
+		\psi(x,0) \qquad \dert{\psi}(x,0)
+	\]
+	che specificano forma e velocità della corda all'istante iniziale
+	\item \textbf{due condizioni al contorno}, necessarie quando la corda ha lunghezza finita
+\end{itemize}
+
+Il caso più importante, e fisicamente più rilevante, è quello degli estremi fissi:
+\[
+	\psi(0,t) = 0 \qquad \psi(L,t) = 0
+\]
+
+Questo vincolo modifica radicalmente l'insieme delle soluzioni possibili: solo alcune funzioni $f$ e $g$ saranno ammissibili, e vedremo che ciò conduce alla quantizzazione dei modi normali, analogamente a quella vista per due masse accoppiate, ma con un numero infinito di modi.
+
+\subsection{Verso la ricerca dei modi normali per la corda}
+Ora che abbiamo capito la struttura matematica dell'equazione d'onda e la natura delle sue soluzioni propagative, possiamo affrontare il passo successivo: trovare le oscillazioni proprie della corda, cioè i \textbf{modi normali}.
+
+Come nel caso degli oscillatori accoppiati, ogni modo normale avrà una frequenza propria e rappresenterà un'oscillazione ''pura''.
+La soluzione generale sarà la somma di tutti questi modi.
+
+Nella prossima sezione introdurremo il metodo della separazione delle variabili, che ci permetterà di identificare esplicitamente tali modi.
+
+
+
+\subsection{Condizioni iniziali e completezza dei modi normali}
+Abbiamo ottenuto che i modi normali della corda lunga $l$ vincolata agli estremi sono descritti da:
+\[
+	\psi_n(x,t) = A_n \sin(k_n x) \cos(\omega_n t + \varphi_n)
+\]
+
+dove:
+\[
+	k_n = \frac{n \pi}{l} \qquad
+	\omega_n = v k_n = v \frac{n \pi}{l}
+\]
+e $v = \sqrt{\frac{T_0}{\rho_l}}$ è la velocità delle onde sulla corda.
+
+A questo punto dobbiamo capire come descrivere una qualunque oscillazione della corda che non sia un singolo modo normale.
+Nel caso con due gradi di libertà avevamo:
+\[
+	x_1(t) = c_a u_a(t) + c_b u_b(t)
+\]
+dove $u_a$ e $u_b$ erano i due modi normali.
+
+Ora, nel continuo, il discorso si generalizza a:
+\[
+	y(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(k_n x) \cos(\omega_n t + \varphi_n)
+\]
+
+Questa è la soluzione generale della corda vibrante vincolata agli estremi.
+È del tutto analoga al caso discreto, ma ora la somma contiene infiniti modi normali.
+
+\subsection{Significato fisico delle componenti spaziale e temporale}
+Per un singolo modo normale:
+\[
+	\psi_n(x,t) = Y_n(x) T_n(t)
+\]
+
+dove:
+\[
+	Y_n(x) = \sin(k_n x) \qquad
+	T_n(t) = \cos(\omega_n t + \varphi_n)
+\]
+
+Osserviamo due aspetti fondamentali:
+\begin{itemize}
+	\item In ogni modo normale \textbf{tutti i punti della corda oscillano con la stessa frequenza} $\omega_n$.
+	\item Le ampiezze spaziali cambiano lungo la corda secondo la forma $Y_n(x)$, che contiene nodi e ventri.
+\end{itemize}
+
+Questo è esattamente ciò che avevamo osservato nel caso discreto dei pendoli accoppiati: ogni modo normale è un oscillatore armonico indipendente.
+
+\subsection{Condizioni iniziali per la corda continua}
+Quando avevamo un solo oscillatore armonico, servivano:
+\[
+	x(0) \qquad \dot x(0)
+\]
+
+Nel caso con due gradi di libertà servivano:
+\[
+	x_1(0) \quad x_2(0) \qquad
+	\dot x_1(0) \quad \dot x_2(0)
+\]
+
+Ora, nel caso continuo, abbiamo un numero infinito di punti, ognuno dei quali è un grado di libertà.
+Quindi dobbiamo specificare due funzioni continue:
+\[
+	y(x,0) = f(x)
+\]
+\[
+	\dot y(x,0) = g(x)
+\]
+
+Queste due funzioni rappresentano:
+\begin{itemize}
+	\item la forma iniziale della corda
+	\item la distribuzione iniziale delle velocità lungo la corda
+\end{itemize}
+
+\subsection{Ruolo dei modi normali nella ricostruzione della soluzione}
+Poiché i modi normali $\sin(k_n x)$ formano una base completa per le funzioni che soddisfano le condizioni al contorno $y(0,t)=0$ e $y(l,t)=0$, possiamo espandere la condizione iniziale come:
+\[
+	f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin(k_n x)
+\]
+
+e analogamente:
+\[
+	g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(k_n x)
+\]
+
+I coefficienti $a_n$ e $b_n$ si determinano mediante le usuali formule di ortogonalità dei seni:
+\[
+	a_n = \frac{2}{l} \int_0^l f(x) \sin(k_n x) \, dx
+\]
+\[
+	b_n = \frac{2}{l} \int_0^l g(x) \sin(k_n x) \, dx
+\]
+
+Una volta noti i coefficienti, la soluzione generale si costruisce automaticamente:
+\[
+	y(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \8 a_n \cos(\omega_n t) + \frac{b_n}{\omega_n} \sin(\omega_n t) \9 \sin(k_n x)
+\]
+
+Questa è la forma completa della soluzione dell'equazione di d'Alembert per una corda vincolata agli estremi.
+È la controparte continua e infinitamente estesa di ciò che avevamo già visto con due oscillatori accoppiati.
+
+\subsection{Interpretazione finale}
+Abbiamo quindi stabilito alcuni punti centrali:
+\begin{itemize}
+	\item una corda continua ha infiniti gradi di libertà
+	\item esistono infiniti modi normali, ciascuno con la propria frequenza $\omega_n$
+	\item ogni modo è un oscillatore armonico perfettamente indipendente dagli altri
+	\item qualsiasi moto della corda è una combinazione lineare di questi modi
+	\item le condizioni iniziali determinano i coefficienti della combinazione lineare
+\end{itemize}
+
+Abbiamo quindi completato il passaggio:
+\[
+	\text{sistemi discreti a pochi gradi di libertà}\quad
+	\longrightarrow \quad
+	\text{sistemi continui con infiniti modi}
+\]
+
+e abbiamo visto come l'equazione di d'Alembert racchiuda al suo interno l'intera dinamica della corda vibrante.
+
+
+
+\section{Onde progressive e significato fisico della velocità v}
+Consideriamo il generico modo normale della corda vincolata agli estremi:
+\[
+	\psi_n(x,t) = A_n \sin(k_n x) \cos(\omega_n t)
+\]
+con
+\[
+	k_n = \frac{n \pi}{l} \qquad \omega_n = v k_n \qquad v = \sqrt{\frac{T_0}{\rho_l}}
+\]
+
+Scriviamo il prodotto seno per coseno tramite le identità ricavate con le formule di Eulero.
+Usiamo:
+\[
+	\sin\alpha = \frac{e^{i\alpha} - e^{-i\alpha}}{2i} \qquad
+	\cos\beta = \frac{e^{i\beta} + e^{-i\beta}}{2}
+\]
+
+Allora
+\[
+	\sin(k_n x)\cos(\omega_n t) = \frac{1}{4i} \8 e^{i(k_n x + \omega_n t)} - e^{-i(k_n x + \omega_n t)} + e^{i(k_n x - \omega_n t)} - e^{-i(k_n x - \omega_n t)} \9
+\]
+
+e riconvertendo in seni:
+\[
+	\sin(k_n x)\cos(\omega_n t) = \frac12 \8 \sin(k_n x + \omega_n t) + \sin(k_n x - \omega_n t) \9
+\]
+
+Otteniamo quindi la decomposizione fondamentale:
+\[
+	\psi_n(x,t) = \frac{A_n}{2} \sin(k_n x + \omega_n t) + \frac{A_n}{2} \sin(k_n x - \omega_n t)
+\]
+
+Le due funzioni sono onde della forma:
+\[
+	f(x,t) = \sin(k_n x \pm \omega_n t)
+\]
+Scriviamo $\omega_n = v k_n$:
+\[
+	\sin(k_n x \pm v k_n t) = \sin\!\left[k_n(x \pm vt)\right]
+\]
+
+Introduciamo una variabile di fase:
+\[
+	\phi_{\pm}(x,t)=k_n(x \pm vt)
+\]
+
+Una funzione $f(x \pm vt)$ è una traslazione rigida nel tempo.
+Se definiamo:
+\[
+	g(x) = \sin(k_n x)
+\]
+
+allora:
+\[
+	g(x - vt) \ \text{si sposta verso destra con velocità}\ v
+\]
+\[
+	g(x + vt) \ \text{si sposta verso sinistra con velocità}\ v
+\]
+
+Dunque ogni modo normale è somma di due onde progressive uguali che viaggiano in direzioni opposte:
+\[
+	\psi_n(x,t) = \frac{A_n}{2} g(x - vt) + \frac{A_n}{2} g(x + vt)
+\]
+
+La velocità $v$ non è la velocità dei punti della corda, bensì la velocità con cui si trasmette la perturbazione.
+
+L'equazione d'onda garantisce che:
+\[
+	\text{se } y(x,t)=f(x - vt) \quad \text{allora} \quad \dertt y = v^2 \derxx y
+\]
+e lo stesso vale per $g(x + vt)$.
+
+Questo mostra che:
+\begin{enumerate}
+	\item I modi normali sono onde stazionarie formate da 2 onde progressive opposte
+	\item Le onde progressive viaggiano con velocità $v = \sqrt{T_0 \rho_l^{-1}}$
+	\item I punti della corda oscillano verticalmente, ma l'informazione si trasferisce orizzontalmente con velocità $v$
+\end{enumerate}
+
+Per una corda generica, la soluzione completa:
+\[
+	y(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(k_n x) \cos(\omega_n t + \varphi_n)
+\]
+
+può essere vista come somma di onde progressive:
+\[
+	y(x,t) = F(x - vt) + G(x + vt)
+\]
+
+dove $F$ e $G$ derivano dalle condizioni iniziali.
+
+
+
+\section{Soluzione generale dell'equazione d'onda e metodo di d'Alembert}
+Nel caso della corda vincolata agli estremi abbiamo visto che ogni modo normale può essere
+riscritto come somma di due onde che si muovono in direzioni opposte.
+Per il modo $n$:
+\[
+	\psi_n(x,t) = A_n \sin(k_n x) \cos(\omega_n t + \varphi_n)
+\]
+si ottiene
+\[
+	\psi_n(x,t) = \frac{A_n}{2} \sin(k_n x + \omega_n t + \varphi_n) + \frac{A_n}{2} \sin(k_n x - \omega_n t + \varphi_n)
+\]
+
+Usando $\omega_n = v k_n$:
+\[
+	\sin(k_n x \pm \omega_n t + \varphi_n) = \sin\!\left[k_n(x \pm vt) + \varphi_n\right]
+\]
+
+Si vede quindi che ogni modo normale è somma di due onde della forma
+\[
+	f(x - vt) \qquad g(x + vt)
+\]
+
+La soluzione generale della corda vincolata è
+\[
+	\psi(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(k_n x)\cos(\omega_n t + \varphi_n)
+\]
+
+e poiché ogni termine è somma di un'onda progressiva e una regressiva si può scrivere
+\[
+	\psi(x,t) = F(x - vt) + G(x + vt)
+\]
+
+dove $F$ e $G$ dipendono dalle condizioni iniziali.
+
+\subsection{Metodo di d'Alembert}
+Consideriamo ora l'equazione d'onda nella forma
+\[
+	\derxx{\psi} = \frac{1}{v^2}\dertt{\psi}
+\]
+
+Definiamo le nuove variabili:
+\[
+	\xi = x - vt \qquad \eta = x + vt
+\]
+
+La funzione $\psi(x,t)$ diventa $\psi(\xi,\eta)$.
+
+Calcoliamo le derivate usando la regola della funzione composta.
+
+\paragraph{Derivata prima in $x$}
+\[
+	\frac{\partial\psi}{\partial x} = \frac{\partial\psi}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial\psi}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x} = \psi_\xi + \psi_\eta
+\]
+
+\paragraph{Derivata seconda in $x$}
+Deriviamo di nuovo:
+\[
+	\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} = \psi_{\xi\xi} + 2\psi_{\xi\eta} + \psi_{\eta\eta}
+\]
+
+\paragraph{Derivata prima in $t$}
+\[
+	\frac{\partial\psi}{\partial t} = \psi_\xi \frac{\partial \xi}{\partial t} + \psi_\eta \frac{\partial \eta}{\partial t} = - v \psi_\xi + v \psi_\eta
+\]
+
+\paragraph{Derivata seconda in $t$}
+\[
+	\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} = v^2\psi_{\xi\xi} - 2v^2\psi_{\xi\eta} + v^2\psi_{\eta\eta}
+\]
+
+Ora imponiamo l'equazione d'onda:
+\[
+	\psi_{\xi\xi} + 2\psi_{\xi\eta} + \psi_{\eta\eta} = \psi_{\xi\xi} - 2\psi_{\xi\eta} + \psi_{\eta\eta}
+\]
+
+I primi e gli ultimi termini si cancellano. Rimane:
+\[
+	4\psi_{\xi\eta} = 0
+	\qquad\Rightarrow\qquad
+	\psi_{\xi\eta} = 0
+\]
+
+Integrare rispetto a $\xi$ implica che $\psi_\eta$ non dipende da $\xi$:
+\[
+	\psi_\eta(\xi,\eta) = f(\eta)
+\]
+
+Integrare rispetto a $\eta$ dà:
+\[
+	\psi(\xi,\eta) = F(\eta) + G(\xi)
+\]
+
+Tornando alle variabili originali:
+\[
+	\psi(x,t) = F(x + vt) + G(x - vt)
+\]
+
+Questa è la soluzione più generale dell'equazione d'onda in una dimensione.
+
+\subsection{Proprietà delle soluzioni}
+Una funzione del tipo $\psi(x,t)=F(x - vt)$ rappresenta un'onda che si sposta verso destra.
+Una funzione del tipo $\psi(x,t)=G(x + vt)$ rappresenta un'onda che si sposta verso sinistra.
+
+La forma dell'onda non cambia durante la propagazione: viene traslata con velocità $v$.
+
+Il vincolo ottenuto nell'ipotesi di derivata spaziale piccola
+\[
+	\left|\frac{\partial\psi}{\partial x}\right| \ll 1
+\]
+garantisce che la corda rimanga tesa e che il modello sia valido.
+
+\subsection{Onde armoniche}
+Consideriamo ora una singola onda armonica:
+\[
+	\psi(x,t) = A \sin(kx - \omega t + \varphi)
+\]
+
+I parametri soddisfano:
+\[
+	k = \frac{2\pi}{\lambda} \qquad
+	\omega = 2\pi\nu \qquad
+	\omega = v k
+\]
+
+La lunghezza d'onda è la distanza tra due massimi successivi.
+Il periodo è il tempo tra due oscillazioni successive di un punto fissato.
+La velocità dell'onda vale:
+\[
+	v = \frac{\omega}{k} = \lambda \nu
+\]
+
+A parità di ampiezza, l'energia trasportata è proporzionale ad $A^2$.
+
+\subsection{Interpretazione geometrica}
+Per un tempo fissato $t_0$ la dipendenza spaziale è:
+\[
+	\psi(x,t_0) = A \sin(kx + \text{costante})
+\]
+che è un'onda sinusoidale nello spazio.
+
+Per una posizione fissata $x_0$ la dipendenza temporale è:
+\[
+	\psi(x_0,t) = A \sin(\omega t + \text{costante})
+\]
+che è un'oscillazione armonica nel tempo.
+
+Il movimento dei punti della corda è verticale.
+La propagazione dell'onda è orizzontale con velocità $v$.
+La perturbazione trasporta energia e quantità di moto.
+
+
+
+\section{Potenza e trasporto di energia nelle onde}
+Una soluzione dell'equazione di d'Alembert che rappresenti un'onda progressiva ha la forma
+\[
+	\psi(x,t) = f(x - vt)
+\]
+
+La derivata temporale è
+\[
+	\dert{\psi} = \frac{d f}{d(x - vt)} \dert{x - vt} = - v f'
+\]
+
+La derivata spaziale è
+\[
+	\derx{\psi} = f'
+\]
+
+Da queste due espressioni segue
+\[
+	\dert{\psi} = - v \derx{\psi}
+\]
+
+che vale per un'onda progressiva.
+Per un'onda regressiva si ottiene invece
+\[
+	\dert{\psi} = + v \derx{\psi}
+\]
+
+Consideriamo ora il trasporto di energia lungo la corda.
+La tensione ha una componente verticale pari a
+\[
+	T_\psi = - T_0 \frac{\partial \psi}{\partial x}
+\]
+
+Per un piccolo spostamento verticale
+\[
+	d\psi = \dert{\psi} \, dt
+\]
+
+Il lavoro elementare è
+\[
+	dL = T_\psi\, d\psi = - T_0 \derx{\psi} \dert{\psi}\, dt
+\]
+
+La potenza istantanea è
+\[
+	P(x,t) = \frac{dL}{dt} = - T_0 \derx{\psi} \dert{\psi}
+\]
+
+Per un'onda progressiva usiamo $\dert{\psi}=- v \derx{\psi}$ e otteniamo
+\[
+	P = + T_0 v \8 \derx{\psi} \9^2
+\]
+
+Per un'onda regressiva, usando $\dert{\psi}=+ v \derx{\psi}$ si ottiene
+\[
+	P = - T_0 v \8 \derx{\psi} \9^2
+\]
+
+Il segno distingue la direzione del trasporto.
+Se $\psi(x,t)=f(x - vt)$ allora anche $P(x,t)$ è funzione di $x - vt$:
+\[
+	P(x,t)=P(x - vt)
+\]
+
+Dunque anche la potenza si propaga come un'onda con velocità $v$.
+Consideriamo ora un'onda armonica progressiva
+\[
+	\psi(x,t)=A\sin(kx - \omega t)
+\]
+
+Allora
+\[
+	\derx{\psi} = A k \cos(kx - \omega t) \qquad
+	\dert{\psi} = - A \omega \cos(kx - \omega t)
+\]
+
+La potenza istantanea diventa
+\[
+	P(x,t) = T_0 A^2 k \omega \cos^2(kx - \omega t)
+\]
+
+La funzione $\cos^2$ ha periodo $\pi$. La potenza media su un periodo si calcola come
+\[
+	\overline{P} = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi T_0 A^2 k \omega \cos^2\phi \, d\phi
+\]
+
+Usando
+\[
+	\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \cos^2\phi\, d\phi = \frac12
+\]
+
+Segue
+\[
+	\overline{P} = \frac12 T_0 A^2 k \omega
+\]
+
+Poiché $\omega = vk$ otteniamo la forma equivalente
+\[
+	\overline{P} = \frac12 T_0 v k^2 A^2
+\]
+che mostra in modo chiaro la dipendenza quadratica dell'energia trasportata dall'ampiezza dell'onda.
+
+Per interpretare la struttura energetica confrontiamo la fase $\phi = kx - \omega t$ dell'onda con l'espressione di $\cos^2\phi$ nella potenza.
+Quando $\psi$ è massima o minima si ha $\cos\phi=0$ e dunque $P=0$.
+Quando $\psi$ passa per lo zero si ha $\cos\phi=\pm 1$ e dunque
+\[
+	P_{\max} = T_0 A^2 k \omega
+\]
+
+La potenza è massima dove l'elemento di corda è nel punto di massimo stiramento locale, cioè dove $\derx{\psi}$ è massima.
+In tali punti anche $\dert{\psi}$ è massima per un'onda armonica, quindi l'elemento possiede contemporaneamente massima energia cinetica e massima energia elastica.
+
+La potenza propagata è quindi modulata da una funzione armonica e si muove con velocità $v$.
+Graficamente la forma di $\psi(x,t)$ e quella di $P(x,t)$ hanno lo stesso periodo spaziale ma non gli stessi zeri:
+\[
+	\psi = 0 \quad \Rightarrow \quad P = P_{\max}
+\]
+
+\[
+	\psi = \pm A \quad \Rightarrow \quad P = 0
+\]
+
+Questo descrive perfettamente il trasferimento di energia associato all'onda armonica sulla corda.
+
+
+
+
+\section{Dissipazione radiativa e oscillatore accoppiato alla corda}
+Consideriamo una massa $m$ collegata ad una molla di costante $k$ e, nello stesso punto, ad una corda tesa di tensione $T_0$.
+Indichiamo con $y(t)$ lo spostamento verticale della massa e con $\psi(x,t)$ lo spostamento della corda, con $\psi(0,t)=y(t)$.
+
+L'equazione dell'oscillatore isolato sarebbe
+\[
+	m \dertt y = - k y
+\]
+
+La presenza della corda introduce nuove forze dovute alla tensione $T_0$.
+Nel punto $x=0$ la corda esercita due contributi orizzontali proiettati verticalmente:
+\[
+	F_1 = T_0 \frac{\partial\psi}{\partial x}\Big|_{x=0^+} \qquad
+	F_2 = - T_0 \frac{\partial\psi}{\partial x}\Big|_{x=0^-}
+\]
+
+Per un'onda che si propaga verso $+x$ (onda progressiva) la relazione d'Alembert semplificata è
+\[
+	\dert\psi = - v \derx\psi
+\]
+
+quindi
+\[
+	\derx\psi = - \frac{1}{v} \dert\psi
+\]
+
+Per un'onda regressiva vale invece
+\[
+	\dert\psi = + v \derx\psi
+\]
+
+Poiché il moto dell'oscillatore genera a destra onde progressive e a sinistra onde regressive, si può usare
+\[
+	\derx\psi\Big|_{x=0^\pm} = - \frac{1}{v}\dert\psi(0,t)
+\]
+
+Poiché $\psi(0,t)=y(t)$:
+\[
+	\dert\psi(0,t) = \dert y(t)
+\]
+
+La somma delle due forze della corda diventa
+\[
+	F_1 + F_2 = - T_0 \derx\psi(0^+,t) - T_0 \derx\psi(0^-,t) = - 2 T_0 \Big( - \frac{1}{v} \dert y \Big)
+\]
+cioè
+\[
+	F_1 + F_2 = - \frac{2T_0}{v} \dert y
+\]
+
+L'equazione del moto è quindi
+\[
+	m \dertt y = - k y - \frac{2T_0}{v} \dert y
+\]
+
+che riscritta nella forma usuale diventa
+\[
+	\dertt y + 2\gamma \dert y + \omega_0^2 y = 0
+\]
+
+con
+\[
+	\gamma = \frac{T_0}{m v} \qquad
+	\omega_0^2 = \frac{k}{m}
+\]
+
+Questa è l'equazione di un oscillatore armonico smorzato.
+Lo smorzamento non è dovuto ad attrito ma alla perdita di energia trasportata via dalla corda sotto forma di onde progressive e regressive.
+È una dissipazione radiativa.
+
+La soluzione è
+\[
+	y(t) = A e^{-\gamma t}\cos(\omega t + \varphi) \qquad
+	\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}
+\]
+
+La massa quindi oscilla con ampiezza che decade esponenzialmente.
+Ogni oscillazione genera sulla corda un'onda che si allontana con velocità $v$.
+Dopo un tempo $t$ il fronte dell'onda si trova a
+\[
+	x = vt
+\]
+
+La forma dell'onda sulla corda è data da
+\[
+	\psi(x,t) = y(t - x/v)
+\]
+
+per $x>0$ e da
+\[
+	\psi(x,t) = y(t + x/v)
+\]
+per $x<0$.
+
+L'inviluppo della perturbazione lungo la corda è
+\[
+	\abs{\psi(x,t)} = A e^{-\gamma (t - x/v)}
+\]
+per $t > x/v$.
+
+La parte iniziale dell'onda (generata quando l'ampiezza era maggiore) si trova più lontano, mentre la parte più vicina alla massa è legata all'ampiezza attuale $A e^{-\gamma t}$.
+La corda mostra quindi una forma modulata da un inviluppo esponenziale che si propaga rigidamente con velocità $v$.
+Se si applica una forzante al punto $x=0$, ad esempio
+\[
+	y_{\text{forz}}(t) = B\cos(\Omega t)
+\]
+
+L'oscillatore produce onde sinusoidali sulla corda di frequenza $\Omega$ e ampiezza determinata dal bilancio tra energia fornita dalla forzante ed energia radiata lungo la corda.
+Dopo il transiente, la corda trasporta energia costante in entrambe le direzioni con potenza media
+\[
+	\overline{P} = \frac12 T_0 A^2 k \Omega
+\]
+per una componente armonica di numero d'onda $k$.
+
+Questo modello meccanico mostra che la radiazione ondosa agisce come uno smorzamento viscoso e permette il trasferimento di energia lungo la corda.
+Il fenomeno è analogo alla dissipazione di energia acustica per un altoparlante o alla radiazione elettromagnetica emessa da un dipolo oscillante.
+
+
+
+\section{Onde acustiche nei fluidi}
+Passiamo da onde trasversali in un mezzo unidimensionale alle onde longitudinali in un fluido tridimensionale.
+Un fluido non ha forma propria ed è caratterizzato dall'incapacità di sostenere sforzi di taglio.
+La grandezza fondamentale per descriverlo è la densità
+\[
+	\rho = \frac{M}{V}
+\]
+dove $M$ è la massa contenuta nel volume $V$.
+
+Un'altra grandezza centrale è la pressione.
+Per una superficie $S$, se su di essa agisce una forza totale $F_\perp$ perpendicolare alla superficie, la pressione è
+\[
+	P = \frac{F_\perp}{S}
+\]
+
+Microscopicamente $F_\perp$ deriva dagli urti delle molecole del fluido sulle pareti.
+Il contributo della $i$-esima particella è
+\[
+	F_{i\perp} = \vec F_i \cdot \hat n
+\]
+e la pressione totale è
+\[
+	P = \frac{1}{S}\sum_i F_{i\perp}
+\]
+
+L'unità di misura è il Pascal, che vale
+\[
+	\si{\Pa} = \si{\N\per\m\squared}
+\]
+
+Consideriamo ora la pressione atmosferica.
+La colonna d'aria sopra una superficie $S$ produce una forza peso totale
+\[
+	F = \int_0^H g(z)\rho(z) S \, dz
+\]
+dove $\rho(z)$ diminuisce con l'altezza.
+
+La pressione atmosferica è quindi
+\[
+	P = \int_0^H g(z)\rho(z)\, dz
+\]
+e al livello del mare vale circa
+
+\[
+	P_{\text{atm}} \approx 10^5 \ \si{\Pa}
+\]
+
+Per una superficie di area $A$, la forza esercitata dall'atmosfera è
+\[
+	F = P_{\text{atm}} A
+\]
+e per una mano con $A = 10^{-2} \ \text{m}^2$ si ottiene
+\[
+	F = 10^3 \ \si{\N}
+\]
+ossia l'equivalente del peso di circa $100$ kg.
+Non percepiamo questa forza perché il nostro corpo contiene fluido interno alla stessa pressione: il principio di Pascal richiede
+\[
+	P_{\text{int}} = P_{\text{est}}
+\]
+
+Il principio di Pascal afferma che in un fluido incomprimibile e in equilibrio statico la pressione è uniforme.
+In un sistema idraulico, applicando una forza $F'$ su un pistone di area $S'$ e ottenendo una forza $F$ su un pistone di area $S$, si ha
+\[
+	\frac{F'}{S'} = \frac{F}{S}
+\]
+da cui
+\[
+	F = F' \frac{S}{S'}
+\]
+che permette la moltiplicazione delle forze.
+
+Passiamo ora alla generazione delle onde acustiche.
+Un mezzo fluido può essere compresso: agendo su uno strato del fluido, si produce una variazione locale di densità $\rho$ e di pressione $P$.
+Lo strato successivo viene spinto da quello precedente e la perturbazione si propaga.
+Se lo spostamento delle particelle è lungo la stessa direzione di propagazione dell'onda, la perturbazione è longitudinale.
+
+Se consideriamo un pistone che comprime un gas, il primo strato viene spostato e compresso:
+\[
+	\rho \to \rho + \Delta\rho \qquad
+	P \to P + \Delta P
+\]
+
+Lo strato successivo viene messo in moto dalla forza trasmessa dal primo e la perturbazione procede.
+Il moto locale delle particelle ha accelerazione dovuta alla differenza di pressione tra strati adiacenti:
+\[
+	\rho \, \dert{u} = - \derx{P}
+\]
+dove $u(x,t)$ è la velocità locale del fluido.
+
+La continuità di massa impone che, se il fluido si comprime in una regione, la densità varia secondo
+\[
+	\dert{\rho} = - \rho_0 \derx{u}
+\]
+dove $\rho_0$ è la densità di equilibrio.
+
+Le variazioni di pressione e densità sono legate dalla risposta elastica del fluido.
+Per piccole variazioni si assume una relazione lineare
+\[
+	\Delta P = B \frac{\Delta\rho}{\rho_0}
+\]
+dove $B$ è il modulo di comprimibilità del mezzo.
+
+Combinando le tre relazioni:
+\[
+	\rho_0 \dert u = - \derx{P} \qquad
+	\dert{\rho} = - \rho_0 \derx{u} \qquad
+	\Delta P = B \frac{\Delta\rho}{\rho_0}
+\]
+
+si ottiene l'equazione d'onda per la pressione (o per la densità):
+\[
+	\derxx{P} = \frac{1}{v^2}\dertt{P} \qquad
+	v = \sqrt{\frac{B}{\rho_0}}
+\]
+
+Questa è l'equazione che descrive le onde sonore.
+La perturbazione longitudinale di densità e pressione si propaga con velocità
+\[
+	v = \sqrt{\frac{B}{\rho_0}}
+\]
+che dipende dal mezzo: i liquidi hanno grande $B$ e quindi velocità acustica maggiore dei gas.
+
+Le onde acustiche sono quindi oscillazioni longitudinali di pressione e densità, governate da una equazione d'onda formalmente identica a quella ottenuta per la corda vibrante, ma con grandezze fisiche diverse.
+
+
+
+\section{Onde acustiche: densità, pressione e spostamento}
+Consideriamo un fluido contenuto in un tubo di sezione costante $S$.
+Ogni grandezza dipenderà da $x$ e $t$.
+Lo spostamento delle particelle rispetto alla posizione di equilibrio è $\psi(x,t)$ ed è parallelo alla direzione di propagazione.
+Assumiamo
+\[
+	\left| \derx{\psi} \right| \ll 1
+\]
+in modo che le deformazioni locali siano piccole.
+
+Un volumetto iniziale del fluido compreso tra $x$ e $x + dx$ ha volume
+\[
+	dV_0 = S\, dx
+\]
+
+Dopo una perturbazione, la sua faccia sinistra si sposta di $\psi(x,t)$ e la faccia destra di $\psi(x+dx,t)$.
+Il nuovo volume è
+\[
+	dV = S \8 \psi(x+dx,t) + dx - \psi(x,t) \9
+\]
+
+La variazione di volume è
+\[
+	\Delta V = dV - dV_0 = S \8 \psi(x+dx,t) - \psi(x,t) \9
+\]
+
+Dividendo e moltiplicando per $dx$:
+\[
+	\Delta V = S\, dx \frac{\psi(x+dx,t) - \psi(x,t)}{dx}
+\]
+che nel limite $dx\to 0$ diventa
+\[
+	\Delta V = dV_0 \derx{\psi}
+\]
+
+Dunque il volume finale è
+\[
+	dV = dV_0 \8 1 + \derx{\psi} \9
+\]
+
+La massa contenuta nel volumetto resta costante.
+La densità iniziale è
+\[
+	\rho_0 = \frac{dm}{dV_0}
+\]
+
+la densità dopo la perturbazione è
+\[
+	\rho = \frac{dm}{dV} = \frac{dm}{dV_0 \8 1 + \derx{\psi} \9}
+\]
+
+Sviluppando al primo ordine:
+\[
+	\rho \simeq \rho_0 \8 1 - \derx{\psi} \9
+\]
+
+La variazione di densità è quindi
+\[
+	\Delta\rho = \rho - \rho_0 = - \rho_0 \derx{\psi}
+\]
+
+Passiamo ora alle forze dovute alla pressione.
+Il volumetto è soggetto alla pressione sulla faccia sinistra $P(x,t)$ e sulla faccia destra $P(x+dx,t)$.
+Le forze sulle due facce sono
+\[
+	F_A = P(x,t) S \qquad
+	F_B = - P(x+dx,t) S
+\]
+
+La forza risultante è
+\[
+	F = F_A + F_B = S \8 P(x,t) - P(x+dx,t) \9
+\]
+
+Nel limite differenziale
+\[
+	F = - S\, dx\, \derx{P}
+\]
+
+La massa del volumetto è
+\[
+	dm = \rho_0 S\, dx
+\]
+
+La sua accelerazione è
+\[
+	\dertt{\psi}(x,t)
+\]
+
+Applicando la seconda legge di Newton:
+\[
+	\rho_0 S\, dx\, \dertt{\psi} = - S\, dx\, \derx{P}
+\]
+
+Eliminando $S\, dx$ otteniamo la relazione fondamentale:
+\[
+	\rho_0 \dertt{\psi} = - \derx{P}
+\]
+
+Abbiamo quindi la prima equazione che lega lo spostamento $\psi$ alla pressione $P$.
+Per ottenere l'equazione d'onda sarà necessario trovare una relazione che esprima $P$ in funzione di $\psi$ o di $\rho$.
+Poiché
+\[
+	\Delta\rho = - \rho_0 \derx{\psi}
+\]
+
+Una relazione tra variazione di pressione e variazione di densità chiuderà il sistema.
+
+
+
+\section{Relazione pressione-densità e chiusura dell'equazione acustica}
+Dalla lezione precedente avevamo ottenuto la relazione dinamica
+\[
+	\rho_0 \dertt{\psi} = - \derx{P}
+\]
+
+Lega lo spostamento $\psi(x,t)$ alla variazione di pressione $P(x,t)$.
+Questa equazione però contiene due funzioni incognite.
+Serve una seconda relazione che colleghi $P$ e $\rho$.
+
+Dalla variazione di densità avevamo già trovato
+\[
+	\Delta \rho = - \rho_0 \derx{\psi}
+\]
+
+Ora vogliamo ricavare come varia la pressione quando varia la densità.
+
+Poiché $P$ non dipende solo da $\rho$ ma anche dalla temperatura $T$, occorre considerare
+\[
+	P = P(\rho, T)
+\]
+
+La variazione infinitesima di $P$ è
+\[
+	dP = \pder{P}{\rho}_{T} d\rho + \pder{P}{T}_{\rho} dT
+\]
+
+Per chiudere il sistema assumiamo che la trasformazione sia isoterma, cioè
+\[
+	dT = 0
+\]
+
+Quindi
+\[
+	dP = \pder{P}{\rho}_{T} d\rho
+\]
+
+Nell'equilibrio termodinamico il legame tra pressione e densità per un gas ideale può essere dedotto dalla legge dei gas perfetti.
+In questa fase ci interessa solo il fatto che la derivata parziale
+\[
+	\pder{P}{\rho}_{T}
+\]
+
+Costante del mezzo.
+Definiamo allora il modulo di comprimibilità isoterma
+\[
+	\beta = \pder{P}{\rho}_{T}\Big|_{\rho=\rho_0}
+\]
+
+Sostituendo $d\rho = \Delta\rho$ otteniamo
+\[
+	\Delta P = \beta\, \Delta\rho
+\]
+
+Usando la relazione precedente
+\[
+	\Delta\rho = - \rho_0 \derx{\psi}
+\]
+
+Segue
+\[
+	\Delta P = - \beta \rho_0 \derx{\psi}
+\]
+
+Poniamo ora $\Delta P = P(x,t)$, essendo la variazione rispetto alla pressione di equilibrio.
+Allora
+\[
+	P = - \beta \rho_0 \derx{\psi}
+\]
+
+Sostituiamo questa espressione nella relazione dinamica
+\[
+	\rho_0 \dertt{\psi} = - \derx{P}
+\]
+
+Cioè
+\[
+	\rho_0 \dertt{\psi} = - \derx\!\left( - \beta \rho_0 \derx{\psi} \right)
+\]
+
+Otteniamo
+\[
+	\rho_0 \dertt{\psi} = \beta \rho_0 \derxx{\psi}
+\]
+
+Semplificando $\rho_0$ si arriva a
+\[
+	\dertt{\psi} = \beta \derxx{\psi}
+\]
+
+Questa è l'equazione d'onda di d'Alembert per le onde acustiche in condizioni isoterme:
+\[
+	\dertt{\psi} = v^2 \derxx{\psi} \qquad
+	v^2 = \beta
+\]
+
+Poiché $\beta = \pder{P}{\rho}_T$ possiamo scrivere la velocità dell'onda come
+\[
+	v = \sqrt{\frac{\beta}{\rho_0}}
+\]
+
+Questa espressione fornisce la velocità delle onde sonore in un fluido isoterma.
+La struttura dell'equazione è identica a quella trovata per la corda vibrante, ma con diverse grandezze fisiche: il ruolo di $T_0$ è ora svolto da $\beta$ e il ruolo della massa per unità di lunghezza è svolto da $\rho_0$.
+
+La natura universale di questa equazione è notevole.
+L'equazione di d'Alembert descrive onde meccaniche sulla corda, onde sonore nei fluidi, onde elettromagnetiche nel vuoto e onde gravitazionali nella relatività generale lineare.
+
+In ogni caso compare la stessa struttura matematica
+\[
+	\dertt{\Phi} = v^2 \derxx{\Phi}
+\]
+per una variabile $\Phi$ che rappresenta di volta in volta spostamento, pressione, campo elettrico, campo magnetico o variazione metrica dello spazio tempo.
+
+Nelle prossime lezioni vedremo come alla perturbazione di spostamento $\psi$ corrisponda anche una perturbazione di pressione $P(x,t)$ e di densità $\rho(x,t)$, che soddisfano a loro volta la stessa equazione d'onda.
+
+
+
+\section{Equazioni d'onda per pressione e densità}
+Partiamo dalla relazione già ricavata tra densità e spostamento
+\[
+	\Delta\rho = - \rho_0 \derx{\psi}
+\]
+
+e dalla sua inversa
+\[
+	\derx{\psi} = - \frac{\Delta\rho}{\rho_0}
+\]
+
+Inseriamo questa relazione nell'equazione d'onda per $\psi$
+\[
+	\dertt{\psi} = \frac{\beta}{\rho_0} \derxx{\psi}
+\]
+
+Sostituendo
+\[
+	\derxx{\psi} = - \frac{1}{\rho_0} \derx{(\Delta\rho)}
+\]
+
+si ottiene
+\[
+	\dertt{\psi} = - \frac{\beta}{\rho_0^2}\, \derx{(\Delta\rho)}
+\]
+
+Deriviamo ora entrambi i membri rispetto a $x$:
+\[
+	\derx{\left( \dertt{\psi} \right)} = - \frac{\beta}{\rho_0^2}\, \derxx{(\Delta\rho)}
+\]
+
+Poiché $\psi$ è funzione regolare, possiamo scambiare l'ordine delle derivate
+\[
+	\dertt{\left( \derx{\psi} \right)} = - \frac{\beta}{\rho_0^2}\, \derxx{(\Delta\rho)}
+\]
+
+Usiamo di nuovo la relazione tra densità e spostamento
+\[
+	\derx{\psi} = - \frac{\Delta\rho}{\rho_0}
+\]
+
+Allora
+\[
+	\dertt{\left( - \frac{\Delta\rho}{\rho_0} \right)} = - \frac{\beta}{\rho_0^2} \derxx{(\Delta\rho)}
+\]
+
+Moltiplichiamo per $-\rho_0$:
+\[
+	\dertt{(\Delta\rho)} = \frac{\beta}{\rho_0} \derxx{(\Delta\rho)}
+\]
+
+Questa è una equazione di d'Alembert per la densità:
+\[
+	\dertt{(\Delta\rho)} = v^2 \derxx{(\Delta\rho)} \qquad
+	v^2 = \frac{\beta}{\rho_0}
+\]
+
+La stessa procedura vale per la pressione.
+Poiché abbiamo mostrato che
+\[
+	\Delta P = \beta\, \frac{\Delta\rho}{\rho_0}
+\]
+
+Le variazioni di pressione soddisfano la medesima equazione
+\[
+	\dertt{(\Delta P)} = v^2 \derxx{(\Delta P)}
+\]
+
+Esistono quindi tre onde distinte ma simultanee:
+\begin{itemize}
+	\item Onda di spostamento $\psi(x,t)$
+	\item Onda di densità $\Delta\rho(x,t)$
+	\item Onda di pressione $\Delta P(x,t)$
+\end{itemize}
+
+Tutte si propagano con la stessa velocità
+\[
+	v = \sqrt{\frac{\beta}{\rho_0}}
+\]
+
+Consideriamo ora una sorgente che impone uno spostamento armonico alla superficie $x=0$:
+\[
+	\psi(0,t) = A \cos(\omega t)
+\]
+
+Questa condizione produce nel fluido una soluzione ondosa progressiva
+\[
+	\psi(x,t) = A \cos(kx - \omega t) \qquad
+	k = \frac{\omega}{c}
+\]
+
+La densità segue da
+\[
+	\Delta\rho = - \rho_0 \derx{\psi}
+\]
+
+Quindi
+\[
+	\Delta\rho(x,t) = A \rho_0 k \sin(kx - \omega t)
+\]
+
+La pressione segue da
+\[
+	\Delta P = \beta \frac{\Delta\rho}{\rho_0}
+\]
+e dunque
+\[
+	\Delta P(x,t) = A \beta k \sin(kx - \omega t)
+\]
+
+Le onde di pressione e densità sono quindi in fase tra loro, mentre risultano sfasate di $\pi/2$ rispetto all'onda di spostamento.
+In particolare:
+\[
+	\psi \propto \cos(kx - \omega t) \qquad
+	\Delta\rho \propto \sin(kx - \omega t) \qquad
+	\Delta P \propto \sin(kx - \omega t)
+\]
+
+L'onda fisicamente osservabile è l'onda di pressione, mentre l'onda di spostamento rappresenta l'oscillazione locale delle particelle del fluido.
+Ogni particella del mezzo oscilla attorno alla posizione di equilibrio, mentre l'onda si propaga.
+
+Le animazioni mostrano esattamente questo: le particelle oscillano avanti e indietro, ma le zone di compressione e rarefazione si muovono lungo l'asse $x$ con velocità $v$.
+Le creste dell'onda di densità sono le regioni più compresse, quelle di pressione sono identiche, e si muovono con la stessa legge.
 \end{document}