Leggerissima correzione a git, Aggiunto a onde l'energia dell'oscillatore armonico smorzato

onde/onde.tex

@@ -200,7 +200,7 @@ Esiste anche un'altra grandezza ricavata da $\omega_p$, che è strettamente lega
 \end{defJ}
 
 
-\section{Energia}
+\section{Energia Oscillatore Armonico}
 Facciamo lo studio dell'energia di un oscillatore armonico.
 Per condizioni di stabilità sappiamo che il potenziale $U$ ha delle caratteristiche ben precise chiare in un espansione di Taylor-McLawrin:
 
@@ -548,4 +548,85 @@ Mentre il rapporto fatto prima di quadrarle ci restituisce:
 
 
 
+\section{Energia Oscillatore Armonico Smorzato}
+Riscriviamo l'equazione:
+\begin{align*}
+	x(t) = A e^{- \gamma t } \cos(\omega t + \varphi)\\
+	E_m = K + U = \frac 1 2 m \8 \dert{x} \9^2 + \frac 1 2 \alpha x^2\\
+	\dert{x} = - A \gamma e^{- \gamma t} \cos(\omega t + \varphi) - A \omega e^{- \gamma t} \sin(\omega t + \varphi)
+\end{align*}
+
+A questo punto abbiamo tutto quello che ci serve per ricavare E.
+\[
+	K = \frac 1 2 m \8 \dert{x} \9^2 = \frac 1 2 m A^2 e^{- 2 \gamma t} [\gamma \cos(\omega t + \varphi) - \omega \sin(\omega t + \varphi)]^2
+\]
+
+
+
+\subsection{Prima approssimazione}
+La formula è molto pesante da portare in giro e per semplificarla dobbiamo fare delle approssimazioni.
+Accettiamo che $\gamma << \omega$, questo ha senso perché stiamo studiando il caso più interessante: quando il moto prosegue per un po' e non tutta l'energia viene completamente fermato.
+
+Con questa ipotesi vale: $\gamma \cos(\dots) << \omega \sin(\dots)$.
+\[
+	K \simeq \frac 1 2 m A^2 e^{- 2 \gamma t} \omega^2 \sin^2(\omega t + \varphi)
+\]
+
+Nell'energia, e non nella fase (in quanto l'errore si accumulerebbe ciclo per ciclo), possiamo approssimare ancora e osservare che se $\gamma << \omega \imp \omega \simeq \omega_p = \frac \alpha m$. 
+\[
+	K = \frac 1 2 \alpha A^2 e^{-2\gamma t} \sin^2(\omega t + \varphi)
+\]
+
+Torniamo all'energia meccanica totale.
+\[
+	E_m = K + U = \frac 1 2 \alpha A^2 e^{-2\gamma t} \sin^2(\omega t + \varphi) + \frac 1 2 \alpha A^2 e^{-2\gamma t}\cos^2(\omega t + \varphi) = \frac 1 2 \alpha A^2 e^{-2\gamma t }
+\]
+\[
+	E_m = \frac 1 2 \alpha A^2 e^{-2\gamma t } = \frac 1 2 m \omega_p^2 A^2 e^{-2\gamma t}
+\]
+In questa approssimazioni l'energia meccanica decade come un esponenziale con costante $-2\gamma t$.
+Ovviamente questo vale in determinate approssimazioni, infatti non ha senso che l'energia durante un ciclo si perda sempre allo stesso modo, questo perché tanto più si muove rapidamente il grave tanto più fa attrito.
+
+
+\subsection{Seconda approssimazione}
+Poicè abbiamo preso l'andamento oscillatorio dell'energia meccanica vogliamo un approssimazione migliore e più precisa.
+Ripartiamo dall'energia:
+\[
+	E_m = K + U = \frac 1 2 m \8 \dert{x} \9^2 + \frac 1 2 \alpha x^2
+\]
+
+Cerchiamo di capire come varia:
+\[
+	\dert{E_m} = \frac 1 2 2 m \dert{x} \dertt{x} + \frac 1 2 2 \alpha \dert{x} x = \dert{x} \8 m \dertt{x} + \alpha x \9
+\]
+
+Se torniamo all'equazione del moto ci accorgiamo che:
+\begin{align*}
+	m \dertt{x} = - \alpha x - 2 \gamma m \dert{x}\\
+	m \dertt{x} + \alpha x = - 2 \gamma m \dert{x}
+\end{align*}
+
+Sostituendo alla nostra equazione:
+\[
+	E_m = -2 \gamma m \8 \dert{x} \9^2
+\]
+
+Possiamo dimostrare che tutte le perdite sono legate alla forza di attrito viscoso.
+Intuitivamente è l'unica forza non conservativa e quindi è l'unica che può disperdere energia.
+Dimostriamolo:
+\begin{align*}
+	dW = F_v dx \imp P_{visc} = \dert{W} = F_v * \dert{x} = - 2 \gamma m \8 \dert{x} \9^2
+\end{align*}
+
+Scrivamo la formula in modo chiaro:
+\[
+	\dert{E_m} = -2 \gamma m \8 \dert{x} \9^2 = - 2 \gamma m A^2 \omega_p^2 e^{-2\gamma t} \sin^2 (\omega t + \varphi)
+\]
+
+
+
+%%\section{Oscillatore armonico forzato}
+
+
+
 \end{document}